Для решения системы уравнений:

• x^2 + y^2 = 37
• xy = 6

мы будем использовать метод замены переменных. Начнем с того, что из второго уравнения выразим одну переменную через другую. Например, выразим y через x:

1. Выразим y:

Из уравнения xy = 6, мы можем выразить y:

y = 6/x

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

2. Подставим y в первое уравнение:

x^2 + (6/x)^2 = 37

Теперь упростим это уравнение:

3. Упростим уравнение:

x^2 + (36/x^2) = 37

Умножим все уравнение на x^2, чтобы избавиться от дроби:

4. Умножим на x^2:

x^4 + 36 = 37x^2

Теперь перенесем все в одну сторону:

5. Переносим все в одну сторону:

x^4 - 37x^2 + 36 = 0

Теперь сделаем замену переменной. Пусть z = x^2, тогда уравнение примет вид:

6. Замена переменной:

z^2 - 37z + 36 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

7. Находим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4*1*36 = 1369 - 144 = 1225

Теперь найдем корни уравнения:

8. Находим корни:

z1, z2 = (37 ± √1225) / 2 = (37 ± 35) / 2

z1 = (72) / 2 = 36

z2 = (2) / 2 = 1

Теперь вернемся к переменной x:

9. Находим x:

x^2 = 36 → x = ±6

x^2 = 1 → x = ±1

Теперь найдем соответствующие значения y, используя y = 6/x:

10. Находим y для x = 6:

y = 6/6 = 1

11. Находим y для x = -6:

y = 6/(-6) = -1

12. Находим y для x = 1:

y = 6/1 = 6

13. Находим y для x = -1:

y = 6/(-1) = -6

Таким образом, мы получили 4 пары (x, y):

• (6, 1)
• (-6, -1)
• (1, 6)
• (-1, -6)

Эти пары являются решениями данной системы уравнений.