Как решить следующую задачу?

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Алгебра 11 класс Системы уравнений алгебра 11 класс задача на смеси растворы кислоты решение задач 30-процентный раствор 60-процентный раствор 41-процентный раствор 36-процентный раствор добавление воды система уравнений

Для решения задачи используем систему уравнений.

1. Обозначим количество 30-процентного раствора как x, а количество 60-процентного раствора как y.
2. Составим уравнения по условиям задачи:
• Сумма растворов: x + y + 10 = масса раствора с водой.
• Первое условие (с водой): 0.3x + 0.6y = 0.36(x + y + 10).
• Второе условие (с 50-процентным раствором): 0.3x + 0.6y + 5 = 0.41(x + y + 10).
3. Решите систему уравнений для нахождения x и y.

В результате вы получите, что количество 30-процентного раствора x равно 20 кг.

Ответ: 20 кг 30-процентного раствора.

Для решения этой задачи начнем с обозначения переменных. Пусть:

• x - масса 30-процентного раствора,
• y - масса 60-процентного раствора.

Теперь мы можем записать два уравнения на основе условий задачи.

Первое уравнение: Мы знаем, что после добавления 10 кг чистой воды получился 36-процентный раствор. Сначала найдем массу кислоты в растворах:

• Кислота в 30-процентном растворе: 0.3x,
• Кислота в 60-процентном растворе: 0.6y.

Общая масса раствора после добавления воды составит x + y + 10. Поскольку получился 36-процентный раствор, мы можем записать следующее уравнение:

0.3x + 0.6y = 0.36(x + y + 10).

Второе уравнение: Теперь рассмотрим случай, когда вместо воды мы добавили 10 кг 50-процентного раствора. В этом случае масса кислоты в 50-процентном растворе составит 0.5 * 10 = 5 кг. Общее количество кислоты в смеси будет тогда:

• Кислота в 30-процентном растворе: 0.3x,
• Кислота в 60-процентном растворе: 0.6y,
• Кислота в 50-процентном растворе: 5.

Общая масса раствора составит x + y + 10. Поскольку получился 41-процентный раствор, мы можем записать следующее уравнение:

0.3x + 0.6y + 5 = 0.41(x + y + 10).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 0.3x + 0.6y = 0.36(x + y + 10),
2. 0.3x + 0.6y + 5 = 0.41(x + y + 10).

Теперь упростим оба уравнения.

Упрощение первого уравнения:

Раскроем скобки:

0.3x + 0.6y = 0.36x + 0.36y + 3.6.

Переносим все на одну сторону:

0.3x - 0.36x + 0.6y - 0.36y - 3.6 = 0.

Получаем:

-0.06x + 0.24y - 3.6 = 0.

Умножим на -100, чтобы избавиться от дробей:

6x - 24y + 360 = 0.

Или:

6x - 24y = -360.

Упростим, разделив на 6:

x - 4y = -60. (1)

Упрощение второго уравнения:

Раскроем скобки:

0.3x + 0.6y + 5 = 0.41x + 0.41y + 4.1.

Переносим все на одну сторону:

0.3x - 0.41x + 0.6y - 0.41y + 5 - 4.1 = 0.

Получаем:

-0.11x + 0.19y + 0.9 = 0.

Умножим на -100:

11x - 19y - 90 = 0.

Или:

11x - 19y = 90. (2)

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

1. x - 4y = -60, (1)
2. 11x - 19y = 90. (2)

Теперь выразим x из первого уравнения:

x = 4y - 60.

Подставим это значение во второе уравнение:

11(4y - 60) - 19y = 90.

Раскроем скобки:

44y - 660 - 19y = 90.

Упрощаем:

25y - 660 = 90.

Добавим 660 к обеим сторонам:

25y = 750.

Теперь делим на 25:

y = 30.

Теперь подставим значение y обратно в первое уравнение, чтобы найти x:

x - 4(30) = -60.

x - 120 = -60.

Добавим 120 к обеим сторонам:

x = 60.

Таким образом, мы нашли, что:

• x = 60 кг (масса 30-процентного раствора),
• y = 30 кг (масса 60-процентного раствора).

Ответ: использовали 60 кг 30-процентного раствора.