Как решить уравнение (Log2)^2(4-x)+log1/2(8/(4-x)) = 2^log4(9)? Я никак не могу разобраться, помогите, пожалуйста!

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения алгебра 11 класс уравнение логарифмы решение уравнения log2 Log1/2 Логарифмическое уравнение математика помощь с уравнением школьная математика логарифмические свойства сложные уравнения подготовка к экзаменам Новый

Давайте решим уравнение (Log2)^2(4-x) + log1/2(8/(4-x)) = 2^log4(9) шаг за шагом.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для нашего уравнения. Мы знаем, что логарифм определен только для положительных чисел. Следовательно, 4 - x > 0, что означает, что x < 4.

Теперь перепишем уравнение, используя свойства логарифмов. Начнем с правой части уравнения.

• Запишем 2^log4(9) как 2^(log2(9)/log2(4)) (используя формулу изменения основания логарифма).
• Так как log2(4) = 2, мы можем упростить это до 2^(log2(9)/2) = sqrt(9) = 3.

Теперь наше уравнение выглядит так:

log2^2(4-x) + log1/2(8/(4-x)) = 3

Далее, преобразуем второй логарифм:

• Используем свойство log1/2(a) = -log2(a), чтобы записать log1/2(8/(4-x)) = -log2(8/(4-x)).

Таким образом, уравнение становится:

log2^2(4-x) - log2(8/(4-x)) = 3

Теперь запишем log2(8/(4-x)) как log2(8) - log2(4-x). Мы знаем, что log2(8) = 3.

Подставляем это в уравнение:

log2^2(4-x) - (3 - log2(4-x)) = 3

Упрощаем его:

log2^2(4-x) + log2(4-x) - 6 = 0

Теперь давайте сделаем замену: y = log2(4-x). Тогда уравнение станет:

y^2 + y - 6 = 0

Решим это квадратное уравнение. Оно можно разложить на множители:

(y + 3)(y - 2) = 0

Теперь решим каждое из уравнений:

• 1) y + 3 = 0 → y = -3 → log2(4-x) = -3 → 4 - x = 2^(-3) = 1/8 → x = 4 - 1/8 = 3.875.
• 2) y - 2 = 0 → y = 2 → log2(4-x) = 2 → 4 - x = 2^2 = 4 → x = 0.

Таким образом, мы нашли два значения для x: x1 = 3.875 и x2 = 0.

Не забудьте проверить, что оба значения удовлетворяют ОДЗ (x < 4). Оба значения подходят, поэтому наш ответ:

x1 = 3.875 и x2 = 0.