Как решить уравнение log3x + log9x + log27x = 11/12, учитывая область допустимых значений (ОДЗ)? Задача на 60 баллов.

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения алгебра 11 класс уравнение логарифмы log3x log9x log27x решение ОДЗ область допустимых значений задача на 60 баллов Новый

Давайте подробно решим уравнение log3x + log9x + log27x = 11/12 и определим его область допустимых значений (ОДЗ).

Сначала запишем, что log9x и log27x можно выразить через log3x. Мы знаем, что:

• log9x = log(3^2)x = (1/2)log3x
• log27x = log(3^3)x = (1/3)log3x

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

log3x + (1/2)log3x + (1/3)log3x = 11/12

Объединим все логарифмы:

log3x * (1 + 1/2 + 1/3) = 11/12

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель. В данном случае общий знаменатель равен 6:

• 1 = 6/6
• 1/2 = 3/6
• 1/3 = 2/6

Теперь можем сложить:

6/6 + 3/6 + 2/6 = 11/6

Таким образом, уравнение можно записать как:

(11/6)log3x = 11/12

Теперь упростим это уравнение, умножив обе стороны на 6/11:

log3x = (11/12) * (6/11) = 1/2

Следовательно, мы получаем:

x = 3^(1/2) = √3

Теперь определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку мы работаем с логарифмами, необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным:

x > 0

Таким образом, решение уравнения log3x + log9x + log27x = 11/12 с учетом ОДЗ даёт ответ:

x = √3