Как решить уравнение log3(5-x) + log3(3-x) = 1?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log3 уравнение с логарифмами Новый

Чтобы решить уравнение log3(5-x) + log3(3-x) = 1, начнем с использования свойства логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Это свойство можно записать так:

logb(a) + logb(c) = logb(a * c)

Применим это свойство к нашему уравнению:

log3((5-x)(3-x)) = 1

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, воспользуемся определением логарифма. Если logb(a) = c, то a = b^c. В нашем случае это будет выглядеть так:

(5-x)(3-x) = 3^1

Теперь упростим правую часть уравнения:

(5-x)(3-x) = 3

Далее раскроем скобки на левой стороне:

15 - 5x - 3x + x^2 = 3

Соберем все члены в одну сторону уравнения:

x^2 - 8x + 15 - 3 = 0

Это упростится до:

x^2 - 8x + 12 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем уравнении a = 1, b = -8, c = 12. Подставим эти значения в формулу:

x = (8 ± √((-8)^2 - 4 * 1 * 12)) / (2 * 1)

Посчитаем дискриминант:

D = (-8)^2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16

Теперь подставим дискриминант в формулу:

x = (8 ± √16) / 2

Поскольку √16 = 4, у нас получается два корня:

x1 = (8 + 4) / 2 = 12 / 2 = 6

x2 = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2

Теперь у нас есть два возможных решения: x1 = 6 и x2 = 2. Однако нужно проверить, подходят ли эти значения для исходного уравнения, так как логарифмы определены только для положительных аргументов.

• Для x = 6:
  • 5 - 6 = -1 (не подходит, так как логарифм отрицательного числа не определен).
• Для x = 2:
  • 5 - 2 = 3 (подходит).
  • 3 - 2 = 1 (подходит).

Таким образом, единственным решением уравнения является x = 2.