Как решить уравнение:

(x^2-5x+2)^2-5(x^2-5x+2)-x+2=0?

Алгебра 11 класс Уравнения и системы уравнений решение уравнения алгебра 11 класс Квадратные уравнения методы решения сложные уравнения Новый

Для решения уравнения (x^2-5x+2)^2-5(x^2-5x+2)-x+2=0, начнем с упрощения. Обозначим y = x^2 - 5x + 2. Тогда уравнение можно переписать в более простой форме:

y^2 - 5y - x + 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение по переменной y. Однако, в нем присутствует еще и x, что усложняет задачу. Мы можем выразить x через y, чтобы решить это уравнение.

Сначала мы можем решить квадратное уравнение относительно y:

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

y = (5 ± √(5^2 + 4 * 1 * (x - 2))) / (2 * 1)

Упрощая подкоренное выражение, получаем:

y = (5 ± √(25 + 4x - 8)) / 2

y = (5 ± √(4x + 17)) / 2

Теперь, когда мы выразили y через x, подставим это значение обратно в выражение для y:

y = x^2 - 5x + 2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. y = (5 + √(4x + 17)) / 2
2. y = (5 - √(4x + 17)) / 2

Теперь подставим каждое из значений y в уравнение x^2 - 5x + 2 = y и решим для x:

1. Подставляем y = (5 + √(4x + 17)) / 2:

x^2 - 5x + 2 = (5 + √(4x + 17)) / 2

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2x^2 - 10x + 4 = 5 + √(4x + 17)

Теперь перенесем все в одну сторону:

2x^2 - 10x - 1 = √(4x + 17)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(2x^2 - 10x - 1)^2 = 4x + 17

Раскроем левую часть и упростим уравнение. Это даст нам новое квадратное уравнение, которое также нужно будет решить.

2. Подставляем y = (5 - √(4x + 17)) / 2:

Аналогично, получим второе уравнение:

x^2 - 5x + 2 = (5 - √(4x + 17)) / 2

И также умножим обе стороны на 2, перенесем все в одну сторону и возведем в квадрат.

После того как мы решим оба квадратных уравнения, мы получим значения x. Не забудьте проверить каждое найденное значение на наличие extraneous roots, так как при возведении в квадрат могут появляться дополнительные корни.

Таким образом, мы приходим к решению данного уравнения через последовательные шаги, используя подстановку и решение квадратных уравнений.