Какое наименьшее целое значение параметра a нужно определить, чтобы уравнение

√(3 - (a²/25)) * sin(x) + (a/10) * cos(x) = √2

имело хотя бы одно решение?

Алгебра 11 класс Параметрические уравнения и неравенства алгебра 11 класс уравнение с параметром наименьшее целое значение a решение уравнения тригонометрические функции Новый

Для того чтобы уравнение √(3 - (a²/25)) * sin(x) + (a/10) * cos(x) = √2 имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы левая часть уравнения могла принимать значения, которые включают √2. Рассмотрим левую часть уравнения:

Левая часть имеет вид:

y = √(3 - (a²/25)) * sin(x) + (a/10) * cos(x)

Это выражение можно рассматривать как линейную комбинацию функций sin(x) и cos(x). Максимальное значение этой комбинации можно определить с помощью формулы для максимума:

Максимальное значение выражения y достигается, когда sin(x) и cos(x) находятся в определенном соотношении. В общем случае максимальное значение выражения A * sin(x) + B * cos(x) равно √(A² + B²), где A = √(3 - (a²/25)) и B = a/10.

Таким образом, максимальное значение y будет:

max(y) = √((√(3 - (a²/25)))² + (a/10)²) = √(3 - (a²/25) + (a²/100))

Теперь упростим это выражение:

• 3 - (a²/25) + (a²/100) = 3 - (4a²/100) + (a²/100) = 3 - (3a²/100) = 3 - 0.03a²

Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы максимальное значение y было больше либо равно √2:

3 - 0.03a² ≥ √2

Теперь решим неравенство:

1. Переносим √2 в левую часть:
2. 3 - √2 ≥ 0.03a²
3. Теперь делим обе стороны на 0.03 (учитывая, что 0.03 > 0, знак неравенства не меняется):
4. (3 - √2) / 0.03 ≥ a²
5. Теперь извлекаем корень из обеих сторон (так как a² ≥ 0):
6. √((3 - √2) / 0.03) ≥ |a|

Таким образом, наименьшее целое значение a будет равно:

Находим значение (3 - √2) / 0.03:

• √2 ≈ 1.414, следовательно, 3 - √2 ≈ 3 - 1.414 ≈ 1.586.
• Теперь делим 1.586 на 0.03: 1.586 / 0.03 ≈ 52.87.

Теперь находим корень:

√52.87 ≈ 7.27.

Поскольку мы ищем наименьшее целое значение параметра a, мы округляем 7.27 до ближайшего целого числа, что дает нам 8.

Ответ: Наименьшее целое значение параметра a, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, равно 8.