Каковы все значения параметра а, при каждом из которых график функции f(x) = x^2 - 3x + 2 - |x^2 - 5x + 4| - a пересекает ось абсцисс не менее чем в трёх различных точках?

Алгебра 11 класс Параметрические уравнения и неравенства значения параметра а график функции пересечение оси абсцисс алгебра 11 класс решения уравнений Новый

Чтобы найти все значения параметра a, при которых график функции f(x) = x^2 - 3x + 2 - |x^2 - 5x + 4| - a пересекает ось абсцисс не менее чем в трех различных точках, начнем с анализа функции.

Сначала упростим выражение под модулем:

• Рассмотрим функцию g(x) = x^2 - 5x + 4. Эта функция является параболой, которая пересекает ось абсцисс в точках, где g(x) = 0.
• Решим уравнение: x^2 - 5x + 4 = 0. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получаем:
1. x = (5 ± √(25 - 16)) / 2 = (5 ± 3) / 2.
2. Таким образом, корни: x = 4 и x = 1.
• Теперь определим, при каких значениях x функция g(x) положительна или отрицательна:
• g(x) < 0 на интервале (1, 4).
• g(x) ≥ 0 для x ≤ 1 и x ≥ 4.

Теперь мы можем выразить функцию f(x) в зависимости от значения x:

• Если x ≤ 1 или x ≥ 4, то |g(x)| = g(x), и f(x) = x^2 - 3x + 2 - (x^2 - 5x + 4) - a = 2x - 2 - a.
• Если 1 < x < 4, то |g(x)| = -g(x), и f(x) = x^2 - 3x + 2 + (x^2 - 5x + 4) - a = 2x^2 - 8x + 6 - a.

Теперь найдем точки пересечения с осью абсцисс, то есть решим уравнение f(x) = 0.

1. Для x ≤ 1 и x ≥ 4:

• 2x - 2 - a = 0.
• 2x = a + 2.
• x = (a + 2) / 2.

2. Для 1 < x < 4:

• 2x^2 - 8x + 6 - a = 0.
• 2x^2 - 8x + (6 - a) = 0.

Для того чтобы у нас было не менее трех различных корней, необходимо, чтобы:

• Линейное уравнение 2x - 2 - a = 0 давало один корень, который будет либо ≤ 1, либо ≥ 4.
• Квадратное уравнение 2x^2 - 8x + (6 - a) = 0 имело два различных корня.

Рассмотрим условия:

• Для линейного уравнения: (a + 2) / 2 ≤ 1 или (a + 2) / 2 ≥ 4.
• Решим первое неравенство: a + 2 ≤ 2, отсюда a ≤ 0.
• Решим второе неравенство: a + 2 ≥ 8, отсюда a ≥ 6.

Теперь найдем условия для квадратного уравнения:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 2 * (6 - a) = 64 - 8(6 - a) = 64 - 48 + 8a = 16 + 8a.
• Для двух различных корней D > 0, значит 16 + 8a > 0, отсюда a > -2.

Теперь объединяем все условия:

• a ≤ 0 (из линейного уравнения).
• a ≥ 6 (из линейного уравнения).
• a > -2 (из квадратного уравнения).

Таким образом, значения параметра a, при которых график функции пересекает ось абсцисс не менее чем в трех различных точках, будут:

• a ≤ 0 или a ≥ 6.