Какое значение имеет выражение (2/3) в степени x, если выполняется равенство 3 * 2 в степени 2x + 2 * 3 в степени 2x = 5 * 6 в степени x?

Алгебра 11 класс Экспоненциальные уравнения алгебра 11 класс выражение (2/3) в степени x равенство 3 * 2 в степени 2x 2 * 3 в степени 2x 5 * 6 в степени x решение уравнения степени и логарифмы Новый

Для решения уравнения 3 * 2 в степени 2x + 2 * 3 в степени 2x = 5 * 6 в степени x, начнем с преобразования выражений, чтобы упростить их.

Сначала обратим внимание на правую часть уравнения:

• 6 в степени x можно представить как 2 в степени x * 3 в степени x. Таким образом, мы можем переписать правую часть уравнения:
• 5 * 6 в степени x = 5 * (2 в степени x * 3 в степени x).

Теперь у нас есть:

3 * 2 в степени 2x + 2 * 3 в степени 2x = 5 * 2 в степени x * 3 в степени x.

Рассмотрим левую часть уравнения:

• Мы можем вынести общий множитель из левой части. Заметим, что 2 в степени 2x = (2 в степени x) в квадрате и 3 в степени 2x = (3 в степени x) в квадрате.
• Таким образом, левую часть можно записать как:
• 3 * (2 в степени x) в квадрате + 2 * (3 в степени x) в квадрате.

Теперь у нас есть:

3 * (2 в степени x) в квадрате + 2 * (3 в степени x) в квадрате = 5 * (2 в степени x) * (3 в степени x).

Обозначим:

• y = 2 в степени x,
• z = 3 в степени x.

Таким образом, уравнение принимает вид:

3y^2 + 2z^2 = 5yz.

Теперь мы можем привести это уравнение к стандартному виду:

3y^2 - 5yz + 2z^2 = 0.

Это квадратное уравнение относительно y. Применим формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 3, b = -5z, c = 2z^2.

Сначала найдем дискриминант:

D = (-5z)^2 - 4 * 3 * 2z^2 = 25z^2 - 24z^2 = z^2.

Теперь подставим дискриминант в формулу:

y = (5z ± z) / 6.

Это дает нам два решения:

• y1 = (5z + z) / 6 = 6z / 6 = z,
• y2 = (5z - z) / 6 = 4z / 6 = (2/3)z.

Теперь вернемся к нашим обозначениям:

• y = 2 в степени x,
• z = 3 в степени x.

Первое решение:

2 в степени x = 3 в степени x.

Это возможно только при x = 0.

Второе решение:

2 в степени x = (2/3) * 3 в степени x.

Это можно переписать как 2 в степени x = 2 в степени x * (3 в степени x / 3).

Теперь, чтобы найти значение (2/3) в степени x, мы можем использовать второе решение:

(2/3) в степени x = 1/4, если x = 0.

Таким образом, значение выражения (2/3) в степени x, которое удовлетворяет данному уравнению, равно:

(2/3) в степени x = 1/4.