Какое значение p нужно найти, чтобы один из корней второго уравнения x^2-7x+2p=0 оказался вдвое больше одного из корней первого уравнения x^2-5x+p=0?

Алгебра 11 класс Системы уравнений алгебра 11 класс уравнения корни уравнений значение p Квадратные уравнения математические задачи Новый

Для решения данной задачи нам нужно найти значение p, при котором один из корней второго уравнения x^2 - 7x + 2p = 0 будет вдвое больше одного из корней первого уравнения x^2 - 5x + p = 0.

Давайте обозначим корни первого уравнения как x1 и x2. По формуле Виета, сумма корней равна 5 (коэффициент при x с противоположным знаком), а произведение корней равно p. Таким образом, мы можем записать:

• x1 + x2 = 5
• x1 * x2 = p

Теперь рассмотрим второе уравнение. Обозначим его корни как y1 и y2. Сумма корней второго уравнения равна 7, а произведение корней равно 2p:

• y1 + y2 = 7
• y1 * y2 = 2p

Теперь по условию задачи один из корней второго уравнения (например, y1) должен быть вдвое больше одного из корней первого уравнения (например, x1):

y1 = 2 * x1

Теперь подставим это выражение в уравнения для корней второго уравнения:

Сначала подставим в уравнение для суммы корней:

2 * x1 + y2 = 7

Теперь выразим y2:

y2 = 7 - 2 * x1

Теперь подставим y1 и y2 в уравнение для произведения корней:

(2 x1) (7 - 2 * x1) = 2p

Раскроем скобки:

14 x1 - 4 x1^2 = 2p

Теперь выразим p:

p = 7 x1 - 2 x1^2

Теперь подставим это значение p в уравнения для корней первого уравнения:

x1 x2 = p = 7 x1 - 2 * x1^2

Из уравнения для суммы корней первого уравнения:

x1 + x2 = 5

Мы можем выразить x2 через x1:

x2 = 5 - x1

Теперь подставим x2 в уравнение для произведения:

x1 (5 - x1) = 7 x1 - 2 * x1^2

Раскроем скобки:

5x1 - x1^2 = 7x1 - 2x1^2

Переносим все в одну сторону:

2x1^2 - 2x1 = 0

Факторизуем:

2x1(x1 - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два решения:

• x1 = 0
• x1 = 1

Теперь подставим каждое значение x1 в выражение для p:

1. Если x1 = 0, то:

p = 7 0 - 2 0^2 = 0

2. Если x1 = 1, то:

p = 7 1 - 2 1^2 = 7 - 2 = 5

Таким образом, мы нашли два возможных значения для p: 0 и 5. Однако, чтобы найти одно значение, которое удовлетворяет условию задачи, мы можем выбрать p = 5, так как оно не дает тривиальных корней.

Ответ: p = 5.