Какова длина отрезка, который определяет все решения системы неравенств -1 < 1 - 2х < 2 и (2√3 - 5)(3х - 2) > 0?

Алгебра 11 класс Неравенства и системы неравенств длина отрезка решения системы неравенств алгебра 11 класс неравенства математический анализ алгебраические выражения Новый

Чтобы найти длину отрезка, который определяет все решения данной системы неравенств, начнем с решения каждого из них по отдельности.

Первое неравенство: -1 < 1 - 2x < 2

Это неравенство можно разбить на два отдельных неравенства:

1. -1 < 1 - 2x
2. 1 - 2x < 2

Теперь решим каждое из них по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

1. Переносим 1 влево: -1 - 1 < -2x, что дает -2 < -2x.
2. Умножим обе стороны на -1 (неравенство поменяет знак): 2 > 2x.
3. Разделим обе стороны на 2: 1 > x, или x < 1.

2. Решим второе неравенство:

1. Переносим 1 влево: 1 - 2x < 2.
2. Переносим 1 вправо: -2x < 1.
3. Умножим обе стороны на -1 (неравенство поменяет знак): 2x > -1.
4. Разделим обе стороны на 2: x > -0.5.

Таким образом, из первого неравенства мы получили: x < 1, а из второго - x > -0.5. Объединяя эти результаты, получаем:

x ∈ (-0.5, 1).

Второе неравенство: (2√3 - 5)(3x - 2) > 0

Для решения этого неравенства найдем корни каждого множителя:

• 2√3 - 5 = 0 → 2√3 = 5 → √3 = 5/2 → x = (5/2)/2 = 5/4.
• 3x - 2 = 0 → 3x = 2 → x = 2/3.

Теперь определим интервалы, где произведение положительно. У нас есть два корня: 2/3 и 5/4. Разделим числовую прямую на три интервала:

• (-∞, 2/3)
• (2/3, 5/4)
• (5/4, +∞)

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:

• Для x < 2/3, например, x = 0: (2√3 - 5)(3*0 - 2) < 0.
• Для 2/3 < x < 5/4, например, x = 1: (2√3 - 5)(3*1 - 2) > 0.
• Для x > 5/4, например, x = 2: (2√3 - 5)(3*2 - 2) > 0.

Таким образом, неравенство (2√3 - 5)(3x - 2) > 0 выполняется на интервалах:

x ∈ (2/3, 5/4) ∪ (5/4, +∞).

Объединение решений:

Теперь объединим результаты обоих неравенств:

x ∈ (-0.5, 1) и x ∈ (2/3, 5/4) ∪ (5/4, +∞).

Пересечение этих интервалов даст нам решения системы:

Рассмотрим пересечение:

• (-0.5, 1) ∩ (2/3, 5/4) = (2/3, 1).
• (-0.5, 1) ∩ (5/4, +∞) = пустое множество.

Таким образом, единственный интервал, который удовлетворяет обоим неравенствам, это:

x ∈ (2/3, 1).

Длина отрезка:

Чтобы найти длину отрезка (2/3, 1), нужно вычесть начальную точку из конечной:

1 - 2/3 = 1/3.

Таким образом, длина отрезка, который определяет все решения системы неравенств, равна:

1/3.