Какова формула для вычисления объёма четырехугольной пирамиды, если основание является прямоугольником с диагональю 4 см и углом 60 градусов между диагоналями, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов?

Алгебра 11 класс Геометрия объем четырехугольной пирамиды формула объёма прямоугольник диагональ 4 см угол 60 градусов боковые ребра наклон 45 градусов алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти объём четырехугольной пирамиды с прямоугольным основанием, нам нужно сначала рассмотреть детали, которые нам даны.

Шаг 1: Находим размеры основания

• Дано: диагональ основания (прямоугольника) равна 4 см.
• Угол между диагоналями равен 60 градусов.

Мы можем использовать свойства прямоугольника для нахождения его сторон. Пусть стороны прямоугольника обозначим как a и b. Диагональ прямоугольника может быть найдена по формуле:

d = √(a² + b²),

где d — диагональ. Подставляем известное значение:

4 = √(a² + b²).

Квадратим обе стороны:

16 = a² + b².

Также, зная угол между диагоналями, мы можем использовать тригонометрию. Угол между диагоналями равен 60 градусов, поэтому:

tg(30°) = b/a.

Из этого следует, что:

b = a * tg(30°) = a * (√3/3).

Теперь подставим b в уравнение для диагонали:

16 = a² + (a * √3/3)².

16 = a² + (3/9) * a².

16 = a² * (1 + 1/3) = a² * (4/3).

Теперь выразим a²:

a² = 16 * (3/4) = 12.

Таким образом, a = √12 = 2√3 см.

Теперь найдём b:

b = a * (√3/3) = (2√3) * (√3/3) = 2/3 * 3 = 2 см.

Шаг 2: Находим высоту пирамиды

• Теперь, когда мы знаем размеры основания, можем найти высоту пирамиды.
• Дано: боковые ребра наклонены под углом 45 градусов к плоскости основания.

Высота h пирамиды может быть найдена с помощью тригонометрии:

h = l * sin(45°),

где l — длина бокового ребра. Но нам нужно сначала найти l. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения l:

l = √(h² + (d/2)²),

где d/2 — это половина диагонали основания. Поскольку d = 4 см, d/2 = 2 см.

Подставляя значение:

l = √(h² + 2²) = √(h² + 4).

Поскольку угол наклона 45 градусов, мы знаем, что:

tan(45°) = h / (d/2) = h / 2.

Отсюда h = 2 см.

Шаг 3: Находим объём пирамиды

Теперь мы можем найти объём V пирамиды по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S — площадь основания.

Площадь основания S = a * b = (2√3) * 2 = 4√3 см².

Теперь подставим значения в формулу для объёма:

V = (1/3) * (4√3) * 2 = (8√3) / 3 см³.

Таким образом, объём четырехугольной пирамиды составляет (8√3) / 3 см³.