Какова функция y=x^3+3x^2-4? Найдите: A) промежутки возрастания и убывания функции; B) точки экстремума; C) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4; 1]

Алгебра 11 класс Анализ функции функция y=x^3+3x^2-4 промежутки возрастания промежутки убывания точки экстремума наибольшее значение наименьшее значение отрезок [-4; 1] Новый

Рассмотрим функцию y = x^3 + 3x^2 - 4. Для анализа этой функции найдем ее производную, которая поможет определить промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.

A) Промежутки возрастания и убывания функции:

Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования:

• Производная от x^3 равна 3x^2;
• Производная от 3x^2 равна 6x;
• Производная от -4 равна 0.

Таким образом, производная функции:

y' = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2).

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3x(x + 2) = 0.

Решим это уравнение:

• x = 0;
• x + 2 = 0, отсюда x = -2.

Критические точки: x = -2 и x = 0.

Теперь определим знаки производной на интервалах, определяемых критическими точками:

• Интервал (-∞, -2): выбираем x = -3. Подставляем в производную: y'(-3) = 3(-3)(-1) > 0. Функция возрастает.
• Интервал (-2, 0): выбираем x = -1. Подставляем в производную: y'(-1) = 3(-1)(1) < 0. Функция убывает.
• Интервал (0, +∞): выбираем x = 1. Подставляем в производную: y'(1) = 3(1)(3) > 0. Функция возрастает.

Итак, функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞), и убывает на интервале (-2, 0).

B) Точки экстремума:

Точки экстремума находятся в критических точках:

• В точке x = -2 функция убывает перед ней и возрастает после, следовательно, это минимум.
• В точке x = 0 функция возрастает перед ней и убывает после, следовательно, это максимум.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0.
• y(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4.

Таким образом, точки экстремума:

• Минимум в точке (-2, 0).
• Максимум в точке (0, -4).

C) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4; 1]:

Теперь найдем значения функции на границах отрезка и в точках экстремума:

• y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 4 = -64 + 48 - 4 = -20.
• y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.

Сравнивая значения:

• y(-4) = -20;
• y(-2) = 0 (минимум);
• y(0) = -4 (максимум);
• y(1) = 0.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-4; 1] равно -20 (в точке x = -4), а наибольшее значение равно 0 (в точках x = -2 и x = 1).