Какова сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма первых трех членов равна 7, а произведение этих членов равно 8?

Алгебра 11 класс Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых трех членов произведение членов прогрессии Новый

Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно определить первый член прогрессии (a) и знаменатель прогрессии (q). Мы знаем, что:

• Сумма первых трех членов прогрессии равна 7:
• Произведение первых трех членов прогрессии равно 8.

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит так:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Для первых трех членов (n = 3) сумма будет:

S_3 = a * (1 - q^3) / (1 - q) = 7

Также, первые три члена прогрессии можно записать как:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq^2

Произведение первых трех членов будет:

P = a * aq * aq^2 = a^3 * q^3 = 8

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a * (1 - q^3) / (1 - q) = 7
2. a^3 * q^3 = 8

Решим второе уравнение для a:

a^3 = 8 / q^3

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

(8 / q^3) * (1 - q^3) / (1 - q) = 7

Умножим обе стороны на (1 - q):

8 * (1 - q^3) = 7 * (1 - q) * q^3

Раскроем скобки:

8 - 8q^3 = 7q^3 - 7q^4

Соберем все члены в одном уравнении:

7q^4 - 15q^3 + 8 = 0

Теперь нужно решить это уравнение. Попробуем найти корни. Одним из корней может быть q = 1:

7(1)^4 - 15(1)^3 + 8 = 0

Действительно, q = 1 является корнем. Теперь мы можем использовать деление многочленов, чтобы упростить уравнение:

Разделим на (q - 1):

7q^3 - 8q^2 - 8q - 8 = 0

Теперь можно использовать метод подбора или численные методы для нахождения других корней. После нахождения q мы можем подставить его обратно, чтобы найти a.

После нахождения a и q, мы можем найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - q)

Эти шаги помогут вам найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если у вас есть конкретные значения для a и q, подставьте их в формулу для суммы.