Какова сумма семи первых членов геометрической прогрессии, если сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 27, а если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 3, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию?

Алгебра 11 класс Арифметическая и геометрическая прогрессии сумма семи членов геометрической прогрессии сумма трех членов арифметической прогрессии арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия условия задачи по алгебре алгебра 11 класс решение задач по алгебре прогрессии в алгебре Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Тогда три первых члена арифметической прогрессии можно записать как:

• a (первый член)
• a + d (второй член)
• a + 2d (третий член)

Согласно условию, сумма трех первых членов арифметической прогрессии равна 27. Это можно записать в виде уравнения:

a + (a + d) + (a + 2d) = 27

Упростим это уравнение:

• 3a + 3d = 27
• a + d = 9 (разделим все на 3)

Теперь рассмотрим вторую часть условия. Если от первых двух членов арифметической прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 3, то полученные три числа должны составить геометрическую прогрессию. Эти числа будут:

• a - 1
• a + d - 1
• a + 2d + 3

Эти три числа образуют геометрическую прогрессию, если выполняется следующее условие:

(a - 1) * (a + 2d + 3) = (a + d - 1)²

Теперь подставим d из уравнения a + d = 9:

• d = 9 - a

Подставим d в уравнение для геометрической прогрессии:

(a - 1) * (a + 2(9 - a) + 3) = (9 - 1)²

Упростим выражение:

• (a - 1) * (a + 18 - 2a + 3) = 64
• (a - 1) * (21 - a) = 64

Раскроем скобки:

21a - a² - 21 + a = 64

Соберем все в одну сторону:

-a² + 22a - 85 = 0

Умножим на -1 для удобства:

a² - 22a + 85 = 0

Теперь найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = 22² - 4 * 1 * 85 = 484 - 340 = 144

Корни уравнения найдем по формуле:

a = (22 ± √144) / 2

a = (22 ± 12) / 2

Получаем два корня:

• a1 = (34) / 2 = 17
• a2 = (10) / 2 = 5

Теперь найдем соответствующие значения d:

• Если a = 17, то d = 9 - 17 = -8 (не подходит, так как прогрессия должна быть возрастающей).
• Если a = 5, то d = 9 - 5 = 4.

Теперь можем найти первые семь членов геометрической прогрессии. Первые три члена арифметической прогрессии:

• 5 (первый член)
• 9 (второй член)
• 13 (третий член)

Теперь найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии. Первые три члена геометрической прогрессии:

• 5 - 1 = 4
• 9 - 1 = 8
• 13 + 3 = 16

Теперь найдем знаменатель геометрической прогрессии:

r = 8 / 4 = 2

Теперь можем найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Где a - первый член, r - знаменатель, n - количество членов. Подставим значения:

S_7 = 4 * (1 - 2^7) / (1 - 2) = 4 * (1 - 128) / (-1) = 4 * (-127) / (-1) = 508

Таким образом, сумма семи первых членов геометрической прогрессии равна 508.