Каково множество значений функции f(x) = 9^(x) + 5 * 3^(-2x)?

Алгебра 11 класс Множества значений функций Множество значений функции алгебра 11 класс f(x) = 9^(x) + 5 * 3^(-2x) нахождение значений функции функции в алгебре Новый

Чтобы найти множество значений функции f(x) = 9^(x) + 5 * 3^(-2x), начнем с преобразования выражения.

Обратите внимание, что 9 можно представить как 3^2. Таким образом, мы можем переписать функцию:

f(x) = (3^2)^(x) + 5 * 3^(-2x)

Используя свойства степеней, мы можем упростить это выражение:

f(x) = 3^(2x) + 5 * 3^(-2x)

Теперь мы можем обозначить y = 3^(2x). Тогда 3^(-2x) = 1/y. Подставим это в функцию:

f(x) = y + 5/y

Теперь мы хотим найти множество значений функции g(y) = y + 5/y, где y > 0 (поскольку y = 3^(2x) всегда положительно).

Для нахождения минимального значения функции g(y) найдем производную:

1. Найдём производную g'(y):
2. g'(y) = 1 - 5/y^2.
3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
4. 1 - 5/y^2 = 0.
5. 5/y^2 = 1.
6. y^2 = 5.
7. y = √5 (так как y > 0).

Теперь подставим найденное значение y в g(y), чтобы найти минимальное значение функции:

g(√5) = √5 + 5/√5 = √5 + √5 = 2√5.

Теперь определим поведение функции g(y) при y стремящемся к 0 и к бесконечности:

• Когда y стремится к 0, g(y) стремится к бесконечности.
• Когда y стремится к бесконечности, g(y) также стремится к бесконечности.

Таким образом, g(y) имеет минимум в точке y = √5 и стремится к бесконечности в обеих крайних точках.

Следовательно, множество значений функции f(x) = 9^(x) + 5 * 3^(-2x) будет:

[2√5, +∞)