Для нахождения множества значений функции f(x) = (sin(x) + cos(x))^2, давайте сначала разберем выражение внутри скобок.

1. Обозначим y = sin(x) + cos(x). Теперь нам нужно найти множество значений y.

2. Используем известное тригонометрическое тождество. Мы можем выразить y через одну функцию:

y = sin(x) + cos(x) = sqrt(2) * (sin(x) * (1/sqrt(2)) + cos(x) * (1/sqrt(2))) = sqrt(2) * sin(x + π/4).

3. Из этого выражения видно, что y = sin(x + π/4) может принимать значения от -1 до 1, так как синус любой угловой функции варьируется в этом диапазоне.

4. Следовательно, y = sin(x) + cos(x) будет принимать значения в диапазоне от -sqrt(2) до sqrt(2),так как максимальное значение sin(x + π/4) равно 1, а минимальное -1.

5. Теперь мы можем найти множество значений функции f(x). Так как f(x) = (sin(x) + cos(x))^2, то:

• Минимальное значение y = -sqrt(2),тогда f(x) = (-sqrt(2))^2 = 2.
• Максимальное значение y = sqrt(2),тогда f(x) = (sqrt(2))^2 = 2.
• Таким образом, f(x) будет принимать значения от 0 до 2, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

6. Поэтому множество значений функции f(x) = (sin(x) + cos(x))^2 равно от 0 до 2, включая 0 и 2.

Ответ: Множество значений функции f(x) = (sin(x) + cos(x))^2 равно [0, 2].