Каковы все значения параметра m, при каждом из которых уравнение (m-1)x^2+2mx+3+m=0 имеет единственный корень?

Алгебра 11 класс Параметрические уравнения значения параметра m уравнение с единственным корнем алгебра 11 класс решения квадратных уравнений дискриминант равен нулю Новый

Чтобы уравнение (m-1)x² + 2mx + (3 + m) = 0 имело единственный корень, необходимо, чтобы его дискриминант равнялся нулю. Дискриминант для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

В нашем случае:

• a = m - 1
• b = 2m
• c = 3 + m

Теперь подставим значения a, b и c в формулу для дискриминанта:

D = (2m)² - 4(m - 1)(3 + m)

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. Сначала вычислим (2m)²:
2. D = 4m²
3. Теперь вычислим 4(m - 1)(3 + m):
4. 4(m - 1)(3 + m) = 4[(m - 1)(3 + m)] = 4[m(3 + m) - (3 + m)] = 4[3m + m² - 3 - m] = 4[m² + 2m - 3]
5. Теперь подставим это значение в D:
6. D = 4m² - 4(m² + 2m - 3)
7. D = 4m² - 4m² - 8m + 12
8. D = -8m + 12

Теперь для того, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы D = 0:

-8m + 12 = 0

Решим это уравнение:

1. Переносим -12 на другую сторону:
2. -8m = -12
3. Делим обе стороны на -8:
4. m = 12/8
5. Упрощаем дробь:
6. m = 3/2

Таким образом, единственное значение параметра m, при котором уравнение (m-1)x² + 2mx + (3 + m) = 0 имеет единственный корень, равно:

m = 1.5