Вопрос: Каковы все значения параметра a, при которых уравнение √(1+x²)=a-x (где 1+x² под единым квадратным корнем) будет иметь решение? (20 баллов!!!)

Алгебра 11 класс Параметрические уравнения значения параметра a уравнение √(1+x²)=a-x решение уравнения алгебра 11 класс квадратный корень условия существования решения Новый

Для того чтобы решить уравнение √(1+x²) = a - x, нам необходимо определить, при каких значениях параметра a это уравнение будет иметь решения. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Определим область определения

Сначала рассмотрим область определения обеих частей уравнения. Поскольку у нас есть квадратный корень, выражение под корнем должно быть неотрицательным. В данном случае 1 + x² всегда неотрицательно, так как x² ≥ 0 для всех x. Таким образом, область определения для левой части уравнения не ограничена.

Шаг 2: Найдем условия для правой части уравнения

Теперь рассмотрим правую часть уравнения a - x. Это выражение будет определено для всех значений x, но нам нужно, чтобы обе стороны уравнения были равны. Следовательно, необходимо, чтобы √(1+x²) было равно a - x.

Шаг 3: Найдем границы значений

Теперь проанализируем, какие значения может принимать левая часть уравнения:

• Когда x = 0, √(1+0²) = √1 = 1.
• Когда x стремится к бесконечности, √(1+x²) также стремится к бесконечности.

Таким образом, левая часть уравнения принимает значения от 1 до бесконечности:

1 ≤ √(1+x²) < ∞

Шаг 4: Найдем условия для параметра a

Теперь нам нужно, чтобы правая часть a - x была не меньше 1, так как левая часть уравнения может принимать значение, равное 1. Это дает нам неравенство:

a - x ≥ 1

Отсюда мы можем выразить a:

a ≥ x + 1

Шаг 5: Определим максимальное значение x

Поскольку x может принимать любые значения, a должно быть больше или равно 1 для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение. Если a < 1, то правая часть уравнения не сможет достигнуть значений, равных или больших 1.

Шаг 6: Подведение итогов

Таким образом, мы пришли к выводу, что для того чтобы уравнение √(1+x²) = a - x имело решения, параметр a должен удовлетворять условию:

a ≥ 1

Ответ: все значения параметра a, при которых уравнение имеет решение, это a ≥ 1.