Какой наименьший корень уравнения x в пятой степени + 7/x в пятой степени = 8, где x возводится в пятую степень?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями и степенями наименьший корень уравнение алгебра 11 класс x в пятой степени решение уравнения Новый

Решим уравнение x в пятой степени + 7/x в пятой степени = 8. Начнем с того, что упростим это уравнение.

Для удобства введем замену: пусть y = x в пятой степени. Тогда уравнение перепишется следующим образом:

y + 7/y = 8

Теперь умножим обе части уравнения на y, чтобы избавиться от дроби:

y^2 + 7 = 8y

Переносим все члены в одну сторону:

y^2 - 8y + 7 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 1, b = -8, c = 7. Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала находим дискриминант:
2. D = (-8)² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36
3. Теперь подставляем в формулу:
4. y = (8 ± √36) / 2 = (8 ± 6) / 2

Теперь найдем два корня:

• Первый корень: y1 = (8 + 6) / 2 = 14 / 2 = 7
• Второй корень: y2 = (8 - 6) / 2 = 2 / 2 = 1

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 7 и y2 = 1. Напомним, что мы делали замену y = x в пятой степени. Теперь найдем x:

• Для y1 = 7: x в пятой степени = 7, следовательно, x = 7^(1/5).
• Для y2 = 1: x в пятой степени = 1, следовательно, x = 1^(1/5) = 1.

Теперь сравним найденные значения:

• x1 = 7^(1/5) ≈ 1.93 (примерно)
• x2 = 1

Таким образом, наименьший корень уравнения x в пятой степени + 7/x в пятой степени = 8 равен:

x = 1