Чтобы найти пару натуральных чисел (x, y), удовлетворяющую данному уравнению, начнем с анализа уравнений по отдельности.

Первое уравнение выглядит так:

x² + y² - (xy)² = 1

Перепишем его в более удобной форме:

(xy)² = x² + y² - 1

Теперь мы можем попробовать подставить различные натуральные числа для x и y и проверить, будет ли уравнение выполняться.

Давайте проверим несколько пар (x, y):

• Для (1, 1):

1² + 1² - (1*1)² = 1 + 1 - 1 = 1. Уравнение выполняется.

• Для (1, 2):

1² + 2² - (1*2)² = 1 + 4 - 4 = 1. Уравнение выполняется.

• Для (2, 2):

2² + 2² - (2*2)² = 4 + 4 - 16 = -8. Уравнение не выполняется.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

(x - y√2)(x + y√2) = 1

Это уравнение можно переписать как:

x² - (y√2)² = 1, что дает:

x² - 2y² = 1

Это уравнение имеет форму, похожую на уравнение Пелля.

Давайте проверим пары (x, y), которые мы нашли ранее:

• Для (1, 1):

1² - 2*1² = 1 - 2 = -1. Уравнение не выполняется.

• Для (1, 2):

1² - 2*2² = 1 - 8 = -7. Уравнение не выполняется.

• Для (2, 1):

2² - 2*1² = 4 - 2 = 2. Уравнение не выполняется.

• Для (2, 2):

2² - 2*2² = 4 - 8 = -4. Уравнение не выполняется.

Теперь попробуем найти другие пары чисел:

• Для (3, 2):

3² - 2*2² = 9 - 8 = 1. Уравнение выполняется.

Теперь проверим, выполняется ли первое уравнение для пары (3, 2):

3² + 2² - (3*2)² = 9 + 4 - 36 = -23. Уравнение не выполняется.

Таким образом, пара натуральных чисел (3, 2) является решением второго уравнения, но не первого. На данный момент нам не удалось найти пару, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям одновременно. Возможно, стоит проверить другие комбинации или использовать более сложные методы для нахождения решений.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите проверить другие пары, дайте знать!