Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой y=ax^2+bx : a= -1/100 м^-1: b=7/10 — постоянны...
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой y=ax^2+bx : a= -1/100 м^-1: b=7/10 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра? Помогите срочно! Заранее спасибо!
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
1. **Определение условий задачи**:
У нас есть парабола, описывающая траекторию полета камня, заданная уравнением y = ax^2 + bx, где a = -1/100 и b = 7/10. Мы хотим узнать, на каком наибольшем расстоянии от стены высотой 9 м необходимо расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра.
2. **Формулирование условия**:
Мы хотим, чтобы высота камня (y) была не менее 1 метра, когда он пролетает над стеной высотой 9 метров. Это означает, что нам нужно найти такие значения x, при которых:
- y >= 9 (для того чтобы камень пролетел над стеной)
- y >= 1 (чтобы камень не упал ниже 1 метра)
3. **Подстановка параметров**:
Подставим значения a и b в уравнение:
y = (-1/100)x^2 + (7/10)x.
4. **Решение неравенств**:
Теперь решим неравенство y >= 9:
(-1/100)x^2 + (7/10)x >= 9.
Перепишем это неравенство:
(-1/100)x^2 + (7/10)x - 9 >= 0.
Умножим все части на -100 (не забываем поменять знак неравенства):
x^2 - 70x + 900 <= 0.
5. **Нахождение корней**:
Для нахождения корней используем дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4*1*900 = 4900 - 3600 = 1300.
Корни уравнения:
x1 = (70 - sqrt(1300))/2,
x2 = (70 + sqrt(1300))/2.
Вычисляем значения:
sqrt(1300) ≈ 36.06.
x1 ≈ (70 - 36.06)/2 ≈ 16.97,
x2 ≈ (70 + 36.06)/2 ≈ 53.03.
6. **Интервал решения**:
Неравенство x^2 - 70x + 900 <= 0 выполняется на интервале [16.97, 53.03].
7. **Выбор наибольшего расстояния**:
Наибольшее расстояние от стены, на котором можно расположить машину, будет равно x2, то есть 53.03 метра.
8. **Ответ**:
Таким образом, наибольшее расстояние от крепостной стены, на котором нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра, составляет примерно **53 метра**.