Коллинеарные ли векторы c1 и c2, которые получены из векторов a и b?

a={1,2,-3}, b={2,-1,-1}, c1=4a+3b, c2=8a-b

Алгебра 11 класс Векторы и их свойства коллинеарные векторы векторы a и b векторы c1 и c2 алгебра 11 класс линейная зависимость проверка коллинеарности

Векторы c1 и c2 коллинеарные.

Доказательство:

1. Вычисляем c1: c1 = 4a + 3b = 4{1,2,-3} + 3{2,-1,-1} = {4+6, 8-3, -12-3} = {10, 5, -15}.
2. Вычисляем c2: c2 = 8a - b = 8{1,2,-3} - {2,-1,-1} = {8-2, 16+1, -24+1} = {6, 17, -23}.
3. Проверяем коллинеарность: c2 = k * c1 для некоторого k.

Так как c1 и c2 можно выразить через один и тот же множитель, они коллинеарные.

Чтобы определить, коллинеарны ли векторы c1 и c2, нам нужно проверить, можно ли выразить один вектор через другой с помощью умножения на скаляр. То есть, векторы c1 и c2 коллинеарны, если существует такое число k, что c1 = k * c2.

Давайте начнем с нахождения векторов c1 и c2, используя заданные векторы a и b.

Шаг 1: Найдем вектор c1

• c1 = 4a + 3b
• Сначала найдем 4a:
• 4a = 4 * {1, 2, -3} = {4*1, 4*2, 4*(-3)} = {4, 8, -12}
• Теперь найдем 3b:
• 3b = 3 * {2, -1, -1} = {3*2, 3*(-1), 3*(-1)} = {6, -3, -3}
• Теперь сложим 4a и 3b:
• c1 = {4, 8, -12} + {6, -3, -3} = {4+6, 8+(-3), -12+(-3)} = {10, 5, -15}

Шаг 2: Найдем вектор c2

• c2 = 8a - b
• Сначала найдем 8a:
• 8a = 8 * {1, 2, -3} = {8*1, 8*2, 8*(-3)} = {8, 16, -24}
• Теперь найдем -b:
• -b = -{2, -1, -1} = {-2, 1, 1}
• Теперь сложим 8a и -b:
• c2 = {8, 16, -24} + {-2, 1, 1} = {8+(-2), 16+1, -24+1} = {6, 17, -23}

Шаг 3: Проверим коллинеарность векторов c1 и c2

• Теперь у нас есть c1 = {10, 5, -15} и c2 = {6, 17, -23}.
• Проверим, существует ли такое число k, что c1 = k * c2:
• 10 = k * 6
• 5 = k * 17
• -15 = k * (-23)
• Решим первое уравнение: k = 10/6 = 5/3.
• Теперь подставим k = 5/3 во второе уравнение:
• 5 = (5/3) * 17 => 5 = 85/3 (это не верно).
• Таким образом, мы видим, что значение k не одинаково для всех уравнений.

Следовательно, векторы c1 и c2 не коллинеарны.