Можете помочь решить систему уравнений: x² + y² = 25 и xy = -12?

Алгебра 11 класс Системы уравнений система уравнений решить систему алгебра 11 класс x² + y² = 25 xy = -12 математические задачи решение уравнений Новый

Конечно, давайте решим систему уравнений:

• Первое уравнение: x² + y² = 25
• Второе уравнение: xy = -12

Мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить одно из переменных через другое. Давайте выразим y через x:

y = -12/x

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

x² + (-12/x)² = 25

Упрощаем второе слагаемое:

x² + (144/x²) = 25

Теперь умножим все уравнение на x², чтобы избавиться от дроби:

x² * x² + 144 = 25 * x²

Это приводит нас к следующему уравнению:

x^4 - 25x² + 144 = 0

Теперь сделаем замену: z = x². Тогда у нас получится квадратное уравнение:

z² - 25z + 144 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-25)² - 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

z₁ = (25 + √49) / 2 = (25 + 7) / 2 = 16

z₂ = (25 - √49) / 2 = (25 - 7) / 2 = 9

Теперь возвращаемся к переменной x:

1. Если z₁ = 16, то x² = 16, следовательно, x = 4 или x = -4.

2. Если z₂ = 9, то x² = 9, следовательно, x = 3 или x = -3.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого x:

• Если x = 4, то y = -12/4 = -3.
• Если x = -4, то y = -12/(-4) = 3.
• Если x = 3, то y = -12/3 = -4.
• Если x = -3, то y = -12/(-3) = 4.

Таким образом, у нас есть четыре решения для системы уравнений:

• (4, -3)
• (-4, 3)
• (3, -4)
• (-3, 4)

Это и есть все возможные решения данной системы уравнений.