Можете, пожалуйста, решить методом интервалов неравенства с числовой осью и нарисовать результаты?

1. х³ - 16х < 0
2. 4х³ - х > 0

Алгебра 11 класс Неравенства и их графическое представление алгебра 11 класс решение неравенств метод интервалов числовая ось график неравенств Новый

Конечно! Давайте решим оба неравенства методом интервалов. Начнем с первого неравенства:

1. Неравенство: х³ - 16х < 0

Сначала мы можем вынести общий множитель:

х(х² - 16) < 0

Теперь заметим, что х² - 16 является разностью квадратов, которую можно разложить:

х(х - 4)(х + 4) < 0

Теперь найдем корни уравнения х(х - 4)(х + 4) = 0:

• х = 0
• х - 4 = 0 => х = 4
• х + 4 = 0 => х = -4

Теперь у нас есть три корня: -4, 0 и 4. Эти корни делят числовую ось на четыре интервала:

• (-∞, -4)
• (-4, 0)
• (0, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак выражения на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, -4): выберем, например, х = -5. Подставляем: -5(-5 - 4)(-5 + 4) = -5(-9)(-1) > 0.
2. Для интервала (-4, 0): выберем х = -1. Подставляем: -1(-1 - 4)(-1 + 4) = -1(-5)(3) < 0.
3. Для интервала (0, 4): выберем х = 1. Подставляем: 1(1 - 4)(1 + 4) = 1(-3)(5) < 0.
4. Для интервала (4, +∞): выберем х = 5. Подставляем: 5(5 - 4)(5 + 4) = 5(1)(9) > 0.

Теперь мы можем сделать выводы:

Неравенство х³ - 16х < 0 выполняется на интервалах (-4, 0) и (0, 4).

2. Неравенство: 4х³ - х > 0

Сначала вынесем общий множитель:

х(4х² - 1) > 0

Теперь найдем корни уравнения х(4х² - 1) = 0:

• х = 0
• 4х² - 1 = 0 => 4х² = 1 => х² = 1/4 => х = ±1/2.

Теперь у нас есть три корня: -1/2, 0 и 1/2. Эти корни делят числовую ось на четыре интервала:

• (-∞, -1/2)
• (-1/2, 0)
• (0, 1/2)
• (1/2, +∞)

Теперь проверим знак выражения на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, -1/2): выберем, например, х = -1. Подставляем: -1(4(-1)² - 1) = -1(4 - 1) < 0.
2. Для интервала (-1/2, 0): выберем х = -1/4. Подставляем: -1/4(4(-1/4)² - 1) = -1/4(1 - 1) = 0.
3. Для интервала (0, 1/2): выберем х = 1/4. Подставляем: 1/4(4(1/4)² - 1) = 1/4(1 - 1) = 0.
4. Для интервала (1/2, +∞): выберем х = 1. Подставляем: 1(4(1)² - 1) = 1(4 - 1) > 0.

Теперь мы можем сделать выводы:

Неравенство 4х³ - х > 0 выполняется на интервале (1/2, +∞).

Итак, результаты:

• Для первого неравенства х³ - 16х < 0: интервал (-4, 0) ∪ (0, 4).
• Для второго неравенства 4х³ - х > 0: интервал (1/2, +∞).

К сожалению, я не могу нарисовать график, но вы можете представить числовую ось и отметить на ней найденные интервалы. Это поможет визуализировать, где выполняются данные неравенства.