На графиках изображены функции у = -х² + 7 и у = 3x. Сколько решений будет у системы уравнений у = 7 - x² и xy = -3?

Алгебра 11 класс Системы уравнений алгебра 11 класс системы уравнений графики функций решения уравнений у = -x² + 7 у = 3x у = 7 - x² xy = -3 Новый

Для того чтобы определить количество решений системы уравнений, нам нужно проанализировать обе функции и найти их пересечения.

Сначала рассмотрим уравнения:

• Первое уравнение: у = 7 - x². Это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (0, 7).
• Второе уравнение: xy = -3. Это уравнение можно переписать в виде y = -3/x, что представляет собой гиперболу, имеющую асимптоты вдоль осей координат.

Теперь мы можем найти пересечения этих двух графиков. Для этого подставим y из второго уравнения в первое:

1. Подставляем: -3/x = 7 - x².
2. Умножаем обе стороны на x (при условии, что x не равно 0): -3 = (7 - x²)x.
3. Раскрываем скобки: -3 = 7x - x³.
4. Переносим все в одну сторону: x³ - 7x - 3 = 0.

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение x³ - 7x - 3 = 0.

Чтобы определить количество корней этого уравнения, можем воспользоваться теоремой о количестве корней. Мы можем провести анализ функции f(x) = x³ - 7x - 3:

• Находим производную: f'(x) = 3x² - 7.
• Решаем уравнение f'(x) = 0: 3x² - 7 = 0, отсюда x² = 7/3, x = ±√(7/3).
• Определяем, где f'(x) > 0 и f'(x) < 0, чтобы понять, где функция возрастает и убывает.

Теперь подставим значения в функцию f(x) в критических точках и на концах интервала:

• f(-∞) → -∞ (функция убывает).
• f(√(7/3)) и f(-√(7/3)) - вычисляем значения для этих x, чтобы найти, где функция меняет знак.
• f(+∞) → +∞ (функция возрастает).

В результате, если мы получим, что функция f(x) меняет знак трижды, то у уравнения будет три различных корня.

Таким образом, система уравнений y = 7 - x² и xy = -3 имеет три решения.