Помогите решить уравнение: √(2x+1) - √(x-1) = √3

Алгебра 11 класс Рациональные уравнения и уравнения с корнями уравнение алгебра решение уравнения корень квадратный корень 11 класс математические задачи алгебраические уравнения Новый

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Уравнение выглядит следующим образом:

√(2x + 1) - √(x - 1) = √3

Первым шагом мы можем изолировать один из корней. Переносим √(x - 1) на правую сторону:

√(2x + 1) = √3 + √(x - 1)

Теперь, чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(√(2x + 1))^2 = (√3 + √(x - 1))^2

Это дает нам:

2x + 1 = (√3)^2 + 2√3√(x - 1) + (√(x - 1))^2

Упрощаем:

2x + 1 = 3 + 2√3√(x - 1) + (x - 1)

Теперь соберем все слагаемые:

2x + 1 = x + 2 + 2√3√(x - 1)

Переносим x и 2 на левую сторону:

2x - x + 1 - 2 = 2√3√(x - 1)

Это упрощается до:

x - 1 = 2√3√(x - 1)

Теперь мы можем снова возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x - 1)^2 = (2√3√(x - 1))^2

Это дает нам:

(x - 1)^2 = 4 * 3 * (x - 1)

(x - 1)^2 = 12(x - 1)

Теперь, если x - 1 не равно 0, можем разделить обе стороны на (x - 1):

x - 1 = 12

Решаем это уравнение:

x = 13

Однако нам нужно проверить, подходит ли это значение для исходного уравнения. Подставим x = 13 обратно в исходное уравнение:

√(2*13 + 1) - √(13 - 1) = √3

√(26 + 1) - √(12) = √3

√27 - 2√3 = √3

3√3 - 2√3 = √3

√3 = √3

Равенство верно, следовательно, x = 13 является решением.

Таким образом, окончательный ответ:

x = 13