Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 9x^2 - 21x - 7 на отрезке от -2 до 3, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала найдем производную функции f(x). Это поможет нам определить критические точки, где функция может принимать экстремальные значения.

• f'(x) = 3x^2 - 18x - 21

Теперь необходимо найти значения x, при которых производная равна нулю.

• 3x^2 - 18x - 21 = 0

Упрощаем уравнение:

• x^2 - 6x - 7 = 0

Теперь можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64

Так как дискриминант положителен, у нас два корня:

• x1 = (6 + √64) / 2 = (6 + 8) / 2 = 7
• x2 = (6 - √64) / 2 = (6 - 8) / 2 = -1

Теперь мы должны найти значения функции f(x) в критических точках и на концах отрезка [-2, 3]. Это значит, что мы будем вычислять f(-2), f(-1), f(3) и f(7).

• f(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 - 21(-2) - 7 = -8 - 36 + 42 - 7 = -9
• f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 - 21(-1) - 7 = -1 - 9 + 21 - 7 = 4
• f(3) = (3)^3 - 9(3)^2 - 21(3) - 7 = 27 - 81 - 63 - 7 = -124

Значение f(7) не учитываем, так как 7 не находится в пределах отрезка [-2, 3].

Мы нашли следующие значения:

• f(-2) = -9
• f(-1) = 4
• f(3) = -124

Теперь сравним их:

• Наименьшее значение: -124 (при x = 3)
• Наибольшее значение: 4 (при x = -1)

Наибольшее значение функции на отрезке [-2, 3] равно 4, а наименьшее значение равно -124.