Для решения системы уравнений:

1. Первое уравнение: 4^(x/y + y/x) = 32

Сначала упростим левую часть. Мы знаем, что 4 = 2^2 и 32 = 2^5, поэтому можем записать:

4^(x/y + y/x) = (2^2)^(x/y + y/x) = 2^(2(x/y + y/x)).

Таким образом, уравнение можно переписать как:

2^(2(x/y + y/x)) = 2^5.

Теперь, поскольку основания равны, можем приравнять показатели:

2(x/y + y/x) = 5.

Разделим обе стороны на 2:

x/y + y/x = 5/2.

Теперь преобразуем это уравнение. Умножим обе стороны на xy:

x^2 + y^2 = (5/2)xy.

Перепишем уравнение:

2x^2 + 2y^2 - 5xy = 0.

Это квадратное уравнение относительно x и y. Теперь перейдем ко второму уравнению:

1. Второе уравнение: log3(x - y) + log3(x + y) = 1

Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

log3((x - y)(x + y)) = 1.

Это означает, что:

(x - y)(x + y) = 3^1 = 3.

Раскроем скобки:

x^2 - y^2 = 3.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. 2x^2 + 2y^2 - 5xy = 0
2. x^2 - y^2 = 3

Сначала выразим x^2 через y^2 из второго уравнения:

x^2 = y^2 + 3.

Подставим это выражение в первое уравнение:

2(y^2 + 3) + 2y^2 - 5y*sqrt(y^2 + 3) = 0.

Упростим уравнение:

2y^2 + 6 + 2y^2 - 5y*sqrt(y^2 + 3) = 0.

Соберем подобные слагаемые:

4y^2 + 6 - 5y*sqrt(y^2 + 3) = 0.

Теперь это уравнение можно решить, но давайте попробуем подставить y = 1, чтобы проверить, возможно ли найти простое решение:

4(1^2) + 6 - 5(1)*sqrt(1^2 + 3) = 0,

4 + 6 - 5*2 = 0,

10 - 10 = 0.

Это уравнение выполняется, значит y = 1. Теперь найдем x:

x^2 = 1^2 + 3 = 4,

x = 2.

Таким образом, мы нашли одно решение системы:

x = 2, y = 1.

Теперь проверим, удовлетворяет ли это решение обоим уравнениям:

1. Для первого уравнения:

    4^(2/1 + 1/2) = 4^(2 + 0.5) = 4^(2.5) = 32. (Верно)
    

2. Для второго уравнения:

    log3(2 - 1) + log3(2 + 1) = log3(1) + log3(3) = 0 + 1 = 1. (Верно)
    

Таким образом, решение системы уравнений:

x = 2, y = 1.