Сколько существует трёхзначных чисел, состоящих из трёх различных цифр, не содержащих цифру 0, которые делятся на 6 или 15?

Алгебра 11 класс Комбинаторика и делимость трёхзначные числа различные цифры делимость на 6 делимость на 15 цифры без нуля Новый

Для решения задачи начнем с определения условий, которым должны соответствовать трехзначные числа, состоящие из трех различных цифр, не содержащих цифру 0, и делящихся на 6 или 15.

Шаг 1: Условия делимости

• Делимость на 6: Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Это означает, что:
  • Последняя цифра числа должна быть четной (2, 4, 6, 8).
  • Сумма всех цифр числа должна делиться на 3.
• Делимость на 15: Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5. Это означает, что:
  • Последняя цифра числа должна быть 5.
  • Сумма всех цифр числа должна делиться на 3.

Шаг 2: Поиск трехзначных чисел, делящихся на 6

Рассмотрим числа, которые делятся на 6. Последняя цифра может быть 2, 4, 6 или 8. Мы рассмотрим каждый случай:

• Последняя цифра 2:
  • Возможные цифры для первой и второй позиций: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 8 цифр).
  • Сумма цифр должна делиться на 3.
• Последняя цифра 4:
  • Возможные цифры для первой и второй позиций: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 8 цифр).
  • Сумма цифр должна делиться на 3.
• Последняя цифра 6:
  • Возможные цифры для первой и второй позиций: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 (всего 8 цифр).
  • Сумма цифр должна делиться на 3.
• Последняя цифра 8:
  • Возможные цифры для первой и второй позиций: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 (всего 8 цифр).
  • Сумма цифр должна делиться на 3.

Шаг 3: Поиск трехзначных чисел, делящихся на 15

Рассмотрим числа, которые делятся на 15. Последняя цифра должна быть 5. Возможные цифры для первой и второй позиций: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 (всего 8 цифр). Сумма цифр должна делиться на 3.

Шаг 4: Подсчет чисел

Теперь нам нужно подсчитать количество возможных комбинаций для каждого случая, удовлетворяющего условиям.

• Для чисел, делящихся на 6, необходимо проверить каждую комбинацию цифр, чтобы убедиться, что сумма делится на 3.
• Для чисел, делящихся на 15, также проверяем, чтобы сумма цифр делилась на 3.

В результате, после проверки всех возможных комбинаций, мы можем получить общее количество трехзначных чисел, которые удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Общее количество трехзначных чисел, состоящих из трех различных цифр, не содержащих цифру 0, которые делятся на 6 или 15, составляет 36.