Покажите, что для любого натурального n произведение (n + 1)(n + 2)...(n + n) делится на 2^n.

Алгебра 11 класс Комбинаторика и делимость алгебра 11 класс Делимость произведение натуральные числа 2 в степени n доказательство математическая индукция Новый

Давайте рассмотрим произведение (n + 1)(n + 2)...(n + n) и покажем, что оно делится на 2^n для любого натурального n.

1. Запишем произведение:

• (n + 1)(n + 2)...(n + n) = (n + 1)(n + 2)...(2n).

2. Это произведение состоит из n множителей: n + 1, n + 2, ..., 2n.

3. Теперь нам нужно понять, сколько из этих множителей четные, так как четные множители будут вносить фактор 2 в произведение.

4. Четные числа в этом диапазоне:

• Первое четное число: n + 2 (если n четное) или n + 1 (если n нечетное).
• Последнее четное число: 2n.

5. Четные числа образуют арифметическую прогрессию:

• Четные числа: n + 2, n + 4, ..., 2n.

6. Чтобы найти количество четных чисел в этом диапазоне, заметим, что:

• В каждом паре (n + 1, n + 2), (n + 3, n + 4) и так далее, одно из чисел четное.
• Таким образом, из n чисел, по крайней мере половина будут четными.

7. Поэтому, количество четных чисел в произведении (n + 1)(n + 2)...(2n) как минимум равно:

• n/2 (если n четное),
• (n + 1)/2 (если n нечетное).

8. Следовательно, общее количество множителей 2, которые мы можем получить из четных чисел, будет как минимум равно:

• n/2 + n/4 + ... (по количеству четных чисел).

9. Это означает, что произведение (n + 1)(n + 2)...(2n) содержит по крайней мере n множителей 2.

10. Таким образом, мы можем сделать вывод, что (n + 1)(n + 2)...(2n) делится на 2^n для любого натурального n.

В заключение, мы показали, что произведение (n + 1)(n + 2)...(n + n) делится на 2^n, что и требовалось доказать.