Чтобы найти количество трехзначных чисел, которые делятся только на два из чисел 2, 5, 7 и не делятся на третье, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации делимости. Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999.

Теперь рассмотрим каждую пару чисел и определим, какие числа подходят под данные условия.

• Числа, которые делятся на 2 и 5, делятся на 10.
• Найдем трехзначные числа, которые делятся на 10: минимальное - 100, максимальное - 990.
• Последовательность чисел: 100, 110, 120, ..., 990. Это арифметическая прогрессия с первым членом 100 и последним 990, разностью 10.
• Количество членов: (990 - 100) / 10 + 1 = 90.
• Теперь найдем, сколько из этих чисел делятся на 7: минимальное число, делящееся на 70 (10 * 7) в диапазоне 100-999 - 105, максимальное - 980.
• Числа: 105, 140, 175, ..., 980. Это также арифметическая прогрессия с первым членом 105 и последним 980, разностью 70.
• Количество членов: (980 - 105) / 70 + 1 = 13.
• Итак, числа, которые делятся на 10 и 7: 90 - 13 = 77.

• Числа, которые делятся на 2 и 7, делятся на 14.
• Найдем трехзначные числа, которые делятся на 14: минимальное - 104, максимальное - 994.
• Числа: 104, 118, 132, ..., 994. Это арифметическая прогрессия с первым членом 104 и последним 994, разностью 14.
• Количество членов: (994 - 104) / 14 + 1 = 64.
• Теперь найдем, сколько из этих чисел делятся на 70 (5 * 14) в диапазоне 100-999: минимальное - 140, максимальное - 980.
• Числа: 140, 210, 280, ..., 980. Это арифметическая прогрессия с первым членом 140 и последним 980, разностью 70.
• Количество членов: (980 - 140) / 70 + 1 = 13.
• Итак, числа, которые делятся на 14 и 5: 64 - 13 = 51.

• Числа, которые делятся на 5 и 7, делятся на 35.
• Найдем трехзначные числа, которые делятся на 35: минимальное - 105, максимальное - 980.
• Числа: 105, 140, 175, ..., 980. Это арифметическая прогрессия с первым членом 105 и последним 980, разностью 35.
• Количество членов: (980 - 105) / 35 + 1 = 26.
• Теперь найдем, сколько из этих чисел делятся на 70 в диапазоне 100-999: минимальное - 140, максимальное - 980.
• Числа: 140, 210, 280, ..., 980. Это арифметическая прогрессия с первым членом 140 и последним 980, разностью 70.
• Количество членов: (980 - 140) / 70 + 1 = 13.
• Итак, числа, которые делятся на 35 и 2: 26 - 13 = 13.

Теперь мы можем сложить количество чисел из всех трех случаев:

77 (делятся на 2 и 5, не делятся на 7) + 51 (делятся на 2 и 7, не делятся на 5) + 13 (делятся на 5 и 7, не делятся на 2) = 141.

Ответ: Существует 141 трехзначное число, которое делится только на два из чисел 2, 5, 7 и не делится на третье.