Для решения уравнения (x+3)² – |x+3| – 30 = 0 мы можем воспользоваться методом введения новой переменной. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Введение новой переменной: Обозначим новую переменную, например, t = x + 3. Таким образом, наше уравнение можно переписать в виде:
• t² - |t| - 30 = 0
2. Рассмотрение двух случаев для модуля: Поскольку у нас есть модуль, мы рассмотрим два случая: когда t >= 0 и когда t < 0.
3. Случай 1: t >= 0
• В этом случае |t| = t. Подставим это в уравнение:
• t² - t - 30 = 0
• Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -30.
• Подставляем значения:
• t = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-30))) / (2 * 1)
• t = (1 ± √(1 + 120)) / 2
• t = (1 ± √121) / 2
• t = (1 ± 11) / 2
• Находим два корня:
• t₁ = (1 + 11) / 2 = 6
• t₂ = (1 - 11) / 2 = -5
• Поскольку мы рассматриваем случай t >= 0, то принимаем только t₁ = 6.
4. Случай 2: t < 0
• В этом случае |t| = -t. Подставим это в уравнение:
• t² + t - 30 = 0
• Решим это уравнение аналогично:
• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -30.
• Подставляем значения:
• t = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * (-30))) / (2 * 1)
• t = (-1 ± √(1 + 120)) / 2
• t = (-1 ± √121) / 2
• t = (-1 ± 11) / 2
• Находим два корня:
• t₃ = (-1 + 11) / 2 = 5
• t₄ = (-1 - 11) / 2 = -6
• Поскольку мы рассматриваем случай t < 0, то принимаем только t₄ = -6.
5. Объединение результатов: Теперь у нас есть два значения для t: 6 и -6. Вспомним, что мы вводили t как t = x + 3. Теперь найдем соответствующие значения x:
• Для t₁ = 6: x + 3 = 6 ⇒ x = 6 - 3 = 3.
• Для t₄ = -6: x + 3 = -6 ⇒ x = -6 - 3 = -9.
6. Ответ: Таким образом, уравнение (x+3)² – |x+3| – 30 = 0 имеет два решения:
• x₁ = 3
• x₂ = -9

(x+3)² – |x+3| – 30 = 0

вводим новую переменную х+3=y

перепишем исходное уравнение с новой переменной

y^2-|y|-30=0

решим уравнение с модулем

y<0    y^2+y-30=0  y1=-6  y2=5  решение y=-6

y>=0  y^2-y-30=0  y1=-5  y2=6  решение y=6

y=6  x+3=6  x=6-3=3

y=-6 x+3=-6  x=-9

ответ Х={-9; 3}