Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а общий множитель как q. Тогда три первых члена геометрической прогрессии будут:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq²

Согласно условию, сумма этих трех членов равна 42:

a + aq + aq² = 42

Мы можем вынести a за скобки:

a(1 + q + q²) = 42

Теперь, согласно условию задачи, эти же числа являются первым, вторым и шестым членами возрастающей арифметической прогрессии. Обозначим первый член арифметической прогрессии как b, и разность прогрессии как d. Тогда мы можем записать:

• Первый член: b
• Второй член: b + d
• Шестой член: b + 5d

Теперь мы можем установить равенства:

• a = b
• aq = b + d
• aq² = b + 5d

Теперь подставим a = b в уравнения для второго и третьего членов:

• aq = a + d
• aq² = a + 5d

Из первого уравнения выразим d:

d = aq - a = a(q - 1)

Теперь подставим d во второе уравнение:

aq² = a + 5a(q - 1)

Упрощаем это уравнение:

aq² = a + 5aq - 5a

Соберем все члены в одну сторону:

aq² - 5aq + 4a = 0

Теперь можно вынести a за скобки (при условии, что a не равно 0):

a(q² - 5q + 4) = 0

Так как a не равно 0, то мы можем решить квадратное уравнение:

q² - 5q + 4 = 0

Для решения этого уравнения найдем дискриминант:

D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

Теперь находим корни уравнения:

q = (5 ± √D) / 2 = (5 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения для q:

• q₁ = (5 + 3) / 2 = 4
• q₂ = (5 - 3) / 2 = 1

Теперь найдем соответствующее значение a для каждого q:

1. Если q = 4:

a(1 + 4 + 16) = 42

a * 21 = 42

a = 2

Таким образом, члены геометрической прогрессии: 2, 8, 32.

2. Если q = 1:

a(1 + 1 + 1) = 42

a * 3 = 42

a = 14

Таким образом, члены геометрической прогрессии: 14, 14, 14.

Теперь проверим, какие из этих случаев удовлетворяют условию, что числа также являются членами арифметической прогрессии:

Для первого случая: 2, 8, 32.

Первый член: 2, второй член: 8, шестой член: 32. Разность d = 6, что подходит.

Для второго случая: 14, 14, 14.

Первый член: 14, второй член: 14, шестой член: 14. Разность d = 0, что также подходит.

Таким образом, решения задачи:

• Первый случай: 2, 8, 32
• Второй случай: 14, 14, 14

Ответ: числа 2, 8, 32 или 14, 14, 14.