Чтобы решить уравнение x^4 + 6x^2 + 8 = 0, начнем с того, что заметим, что это уравнение имеет вид многочлена четвертой степени. Чтобы упростить его решение, сделаем замену переменной.

Обозначим y = x^2. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

y^2 + 6y + 8 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 6, c = 8. Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала найдем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4
2. Теперь подставим значения в формулу:
• y = (-6 ± √4) / (2 * 1)
• y = (-6 ± 2) / 2

Теперь вычислим оба возможных значения для y:

1. Первый корень:
• y1 = (-6 + 2) / 2 = -4 / 2 = -2
2. Второй корень:
• y2 = (-6 - 2) / 2 = -8 / 2 = -4

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = -2 и y2 = -4. Поскольку y = x^2, мы можем записать:

x^2 = -2 и x^2 = -4.

Однако, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, у нас нет действительных корней для этих уравнений.

Таким образом, уравнение x^4 + 6x^2 + 8 = 0 не имеет действительных решений. Если рассматривать комплексные числа, то:

1. Для x^2 = -2 получаем x = ±√(-2) = ±i√2.
2. Для x^2 = -4 получаем x = ±√(-4) = ±2i.

Таким образом, комплексные корни уравнения:

x = ±i√2 и x = ±2i.

Это и есть все решения данного уравнения.