Для решения задачи по построению сечения AMN в правильной треугольной призме ABCA1B1C1, а также для определения, в каком отношении эта плоскость делит объём призмы, следуем следующим шагам:

• Призма состоит из двух равных треугольников ABC и A1B1C1 и трёх прямоугольных боковых граней.
• Сторона треугольника AC равна 6, а высота призмы AA1 равна 8.

• Точка M находится на ребре BB1 и удовлетворяет условию BM = MB1. Это означает, что M делит ребро BB1 пополам.
• Точка N находится на ребре CC1, и AN является биссектрисой угла CAC1. Это значит, что угол BAC1 равен углу NAC1.

• Проведите отрезок AM от точки A до точки M.
• Проведите отрезок AN от точки A до точки N.
• Теперь соедините точки M и N, чтобы получить отрезок MN.
• Плоскость AMN будет проходить через точки A, M и N.

• Объём правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле V = S * h, где S – площадь основания (треугольника ABC),а h – высота призмы.
• Площадь треугольника ABC можно найти по формуле для равностороннего треугольника: S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a – сторона треугольника. В нашем случае a = 6.
• После нахождения объёма призмы, нужно определить, как плоскость AMN делит этот объём. Для этого можно использовать метод интегрирования или геометрические методы, такие как нахождение объёма частей, образованных плоскостью.
• Также можно использовать теорему о подобии фигур, чтобы определить отношение объёмов, если AMN делит призму на две части.

Таким образом, мы можем построить сечение AMN и определить, в каком отношении эта плоскость делит объём призмы, используя как геометрические свойства, так и формулы для вычисления объёма.