Давайте поочередно упростим каждое из данных выражений. Для этого мы будем использовать методы факторизации и сокращения дробей.

Первым делом, давайте разложим числитель и знаменатель на множители.

• Числитель: a^4 - 4 является разностью квадратов, которую можно представить как (a^2 - 2)(a^2 + 2).
• Знаменатель: a^3 + 2a можно вынести общий множитель a, что даст a(a^2 + 2).

Теперь подставим это в дробь:

(a^2 - 2)(a^2 + 2) / a(a^2 + 2)

Мы видим, что (a^2 + 2) можно сократить:

(a^2 - 2) / a

Таким образом, упрощенное выражение: (a^2 - 2) / a.

Сначала разложим числитель и знаменатель.

• Числитель: x^4 - 4x^2 + 4 является квадратом двучлена, который можно представить как (x^2 - 2)^2.
• Знаменатель: x^3 - 2x можно вынести общий множитель x, что даст x(x^2 - 2).

Теперь подставим это в дробь:

(x^2 - 2)^2 / x(x^2 - 2)

Мы можем сократить (x^2 - 2):

(x^2 - 2) / x

Таким образом, упрощенное выражение: (x^2 - 2) / x.

Разложим числитель и знаменатель.

• Числитель: x^4 - 6x^2 + 9 является квадратом двучлена, который можно представить как (x^2 - 3)^2.
• Знаменатель: 3x - x^3 можно вынести общий множитель x, что даст x(3 - x^2).

Теперь подставим это в дробь:

(x^2 - 3)^2 / x(3 - x^2)

Мы можем заметить, что 3 - x^2 = -(x^2 - 3), и поэтому дробь можно переписать как:

-(x^2 - 3) / x

Таким образом, упрощенное выражение: -(x^2 - 3) / x.

Разложим числитель и знаменатель.

• Числитель: x^2 - 2x + 4 не имеет явной факторизации, поэтому оставим его как есть.
• Знаменатель: x^3 + 8 является суммой кубов, которую можно представить как (x + 2)(x^2 - 2x + 4).

Теперь подставим это в дробь:

(x^2 - 2x + 4) / ((x + 2)(x^2 - 2x + 4))

Мы можем сократить (x^2 - 2x + 4):

1 / (x + 2)

Таким образом, упрощенное выражение: 1 / (x + 2).

В итоге, мы получили следующие упрощенные выражения:

• 1) (a^2 - 2) / a
• 2) (x^2 - 2) / x
• 3) -(x^2 - 3) / x
• 4) 1 / (x + 2)