Как можно определить сумму чисел в последовательности 5, -15, 45, ..., 405?

Алгебра 7 класс Сумма арифметической прогрессии сумма чисел последовательность алгебра 7 класс арифметическая прогрессия определение суммы Новый

Чтобы определить сумму чисел в последовательности 5, -15, 45, ..., 405, сначала нужно понять, как устроена эта последовательность. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти сумму:

1. Определение типа последовательности:

   Посмотрим на первые три члена последовательности:

   • Первый член: 5
   • Второй член: -15
   • Третий член: 45

   Теперь найдем разность между соседними членами:

   • -15 - 5 = -20
   • 45 - (-15) = 60

   Мы видим, что разности между членами разные, поэтому это не арифметическая последовательность. Давайте попробуем проверить, является ли она геометрической.

2. Проверка на геометрическую последовательность:

   Для этого найдем отношение между членами:

   • -15 / 5 = -3
   • 45 / -15 = -3

   Мы видим, что отношение между членами одинаковое (-3), следовательно, это геометрическая последовательность с первым членом 5 и знаменателем -3.

3. Определение общего члена последовательности:

   Общий член геометрической последовательности можно выразить формулой:

   a_n = a_1 * r^(n-1),

   где a_1 - первый член (5), r - знаменатель (-3), n - номер члена.

   Таким образом, общий член будет:

   a_n = 5 * (-3)^(n-1).

4. Нахождение количества членов:

   Теперь нам нужно найти, сколько членов в последовательности до 405. Для этого решим уравнение:

   5 * (-3)^(n-1) = 405.

   Разделим обе стороны на 5:

   (-3)^(n-1) = 81.

   Поскольку 81 = 3^4, мы можем записать это как:

   (-3)^(n-1) = (3^4),

   что указывает на то, что n - нечетное число, так как у нас есть отрицательное основание. Следовательно, n-1 = 4, отсюда n = 5.

5. Сумма членов последовательности:

   Теперь, чтобы найти сумму первых 5 членов геометрической последовательности, используем формулу:

   S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r),

   где S_n - сумма первых n членов, a_1 - первый член, r - знаменатель, n - количество членов.

   Подставим известные значения:

   S_5 = 5 * (1 - (-3)^5) / (1 - (-3)).

   Сначала найдем (-3)^5 = -243, затем:

   S_5 = 5 * (1 - (-243)) / (1 + 3) = 5 * (1 + 243) / 4 = 5 * 244 / 4 = 5 * 61 = 305.

Ответ: Сумма чисел в последовательности 5, -15, 45, ..., 405 равна 305.