Давайте докажем, что для любого натурального числа n выражение n^3 + 3n^2 + 6n + 8 является составным числом.

Сначала отметим, что натуральные числа могут быть либо простыми, либо составными. Простое число - это число, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя. Составное же число имеет более двух делителей.

Теперь рассмотрим данное выражение:

• n^3 + 3n^2 + 6n + 8.

Мы можем переписать это выражение в удобной форме. Для этого заметим, что:

• n^3 + 2^3 = (n + 2)(n^2 - 2n + 4),
• 3n^2 + 6n = 3n(n + 2).

Теперь объединим эти части:

• n^3 + 3n^2 + 6n + 8 = (n + 2)(n^2 - 2n + 4) + 3n(n + 2).

Факторизуем выражение:

• n^3 + 3n^2 + 6n + 8 = (n + 2)(n^2 - 2n + 4 + 3n) = (n + 2)(n^2 + n + 4).

Теперь у нас есть произведение двух множителей: (n + 2) и (n^2 + n + 4). Давайте проанализируем их:

• При любом натуральном n, значение (n + 2) всегда будет больше или равно 3, так как при n = 1, (1 + 2) = 3.
• А для (n^2 + n + 4) минимальное значение также можно найти, подставив n = 1: (1^2 + 1 + 4) = 6. Чем больше n, тем больше будет значение этого выражения.

Таким образом, оба множителя (n + 2) и (n^2 + n + 4) при любом натуральном n больше 1 и не могут равняться 1. Это означает, что произведение этих двух множителей не может быть простым числом, так как простые числа имеют только два делителя и один из них всегда равен 1.

Следовательно, выражение n^3 + 3n^2 + 6n + 8 является составным числом для любого натурального n.