Гипотенуза прямоугольного треугольника составляет 13 см. Один из катетов превышает другой на 7 см. Как можно найти длины катетов этого треугольника?

Алгебра 8 класс Треугольники гипотенуза прямоугольный треугольник катеты длина катетов алгебра 8 класс задача решение геометрия математическая задача Новый

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора и составить уравнение. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим один из катетов за x. Тогда другой катет будет равен x + 7 см. Гипотенуза у нас равна 13 см.

Составим уравнение по теореме Пифагора:

x² + (x + 7)² = 13²

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

1. Раскроем скобки: x² + (x + 7)² = x² + x² + 14x + 49
2. Сложим подобные слагаемые: x² + x² + 14x + 49 = 2x² + 14x + 49
3. Подставим квадрат гипотенузы (13² = 169): 2x² + 14x + 49 = 169
4. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: 2x² + 14x + 49 - 169 = 0
5. Упростим: 2x² + 14x - 120 = 0

Получилось квадратное уравнение: 2x² + 14x - 120 = 0

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

x² + 7x - 60 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = 7, c = -60. Подставим эти значения в формулу:

• Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 7² - 4 * 1 * (-60) = 49 + 240 = 289
• Найдем корни уравнения: x = (-7 ± √289) / 2 = (-7 ± 17) / 2
• Первый корень: x = (10) / 2 = 5
• Второй корень: x = (-24) / 2 = -12

Так как длина катета не может быть отрицательной, принимаем только положительное значение:

x = 5

Теперь найдем второй катет:

x + 7 = 5 + 7 = 12

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 см и 12 см.