Как можно обосновать, что последовательность 1/3, 1/9, 1/27... в геометрической прогрессии является бесконечно убывающей?

Алгебра 8 класс Геометрические прогрессии Геометрическая прогрессия бесконечно убывающая последовательность обоснование прогрессии свойства геометрической прогрессии алгебра 8 класс Новый

Чтобы обосновать, что последовательность 1/3, 1/9, 1/27... является бесконечно убывающей, давайте рассмотрим свойства геометрической прогрессии.

Шаг 1: Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии.

Шаг 2: Найдем знаменатель прогрессии

• Первый член: a1 = 1/3
• Второй член: a2 = 1/9
• Третий член: a3 = 1/27

Чтобы найти знаменатель, мы делим второй член на первый:

a2 / a1 = (1/9) / (1/3) = 1/9 * 3/1 = 1/3

Аналогично, делим третий член на второй:

a3 / a2 = (1/27) / (1/9) = 1/27 * 9/1 = 1/3

Таким образом, знаменатель прогрессии равен 1/3.

Шаг 3: Проверка убывания последовательности

Последовательность будет убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего. Поскольку знаменатель (1/3) меньше 1, это означает, что каждый следующий член последовательности будет меньше предыдущего.

Давайте сравним несколько членов:

• a1 = 1/3
• a2 = 1/9
• a3 = 1/27

Сравнивая их:

• 1/3 > 1/9
• 1/9 > 1/27

Таким образом, мы видим, что каждый следующий член меньше предыдущего.

Шаг 4: Бесконечность последовательности

Поскольку последовательность продолжается бесконечно, и каждый следующий член меньше предыдущего, мы можем сказать, что последовательность 1/3, 1/9, 1/27... является бесконечно убывающей.

В заключение, мы обосновали, что данная последовательность является бесконечно убывающей, так как каждый следующий член меньше предыдущего и последовательность продолжается бесконечно.