Как можно представить многочлен 0,25a²+3a+10 в виде суммы квадратов двух выражений?

Алгебра 8 класс Сумма квадратов многочлен сумма квадратов алгебра 8 класс представление многочлена алгебраические выражения Новый

Чтобы представить многочлен 0,25a² + 3a + 10 в виде суммы квадратов двух выражений, нам нужно сначала попробовать выразить его в форме (x + y)², где x и y - некоторые выражения, которые мы должны найти.

Начнем с того, что для представления многочлена в виде суммы квадратов, мы можем воспользоваться формулой разложения:

(x + y)² = x² + 2xy + y².

Теперь давайте попробуем определить, какие значения могут принимать x и y, чтобы получить наш многочлен. Мы можем предположить, что:

• x = k1 * a + b1
• y = k2 * a + b2

Теперь нужно найти такие k1, k2, b1 и b2, чтобы:

• x² = (k1 * a + b1)² = k1² * a² + 2 * k1 * b1 * a + b1²
• y² = (k2 * a + b2)² = k2² * a² + 2 * k2 * b2 * a + b2²

Сложив эти два выражения, мы получим:

(k1² + k2²) * a² + (2 * k1 * b1 + 2 * k2 * b2) * a + (b1² + b2²).

Теперь сравним коэффициенты с нашим многочленом 0,25a² + 3a + 10:

• k1² + k2² = 0,25
• 2 * k1 * b1 + 2 * k2 * b2 = 3
• b1² + b2² = 10

Решим систему уравнений. Начнем с первого уравнения:

k1² + k2² = 0,25.

Для простоты, предположим, что k1 = k и k2 = sqrt(0,25 - k²). Теперь подставим k1 и k2 во второе уравнение:

2 * k * b1 + 2 * sqrt(0,25 - k²) * b2 = 3.

Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных (b1 и b2). Попробуем выбрать k = 0,5:

Тогда:

• k1 = 0,5, k2 = 0,5.
• 0,5² + 0,5² = 0,25.

Теперь подставим k1 и k2 во второе уравнение:

2 * 0,5 * b1 + 2 * 0,5 * b2 = 3, что упрощается до b1 + b2 = 3.

Теперь подставим в третье уравнение:

b1² + b2² = 10.

Мы можем выразить b2 через b1:

b2 = 3 - b1.

Подставляем это в третье уравнение:

b1² + (3 - b1)² = 10.

Раскроем скобки:

b1² + (9 - 6b1 + b1²) = 10.

Соберем все в одно уравнение:

2b1² - 6b1 + 9 - 10 = 0.

Получаем:

2b1² - 6b1 - 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-6)² - 4 * 2 * (-1) = 36 + 8 = 44.

Корни уравнения:

b1 = (6 ± sqrt(44)) / (2 * 2) = (6 ± 2sqrt(11)) / 4 = (3 ± sqrt(11)) / 2.

Теперь подставим найденные значения b1 и b2 обратно в выражения для x и y:

x = 0,5a + (3 + sqrt(11)) / 2,

y = 0,5a + (3 - sqrt(11)) / 2.

Таким образом, мы можем представить многочлен 0,25a² + 3a + 10 в виде суммы квадратов:

0,25a² + 3a + 10 = (0,5a + (3 + sqrt(11)) / 2)² + (0,5a + (3 - sqrt(11)) / 2)².

Это и есть искомое представление многочлена в виде суммы квадратов двух выражений.