Каково значение выражения 1 в квадрате минус 2 в квадрате плюс 3 в квадрате минус 4 в квадрате плюс ... плюс 99 в квадрате минус 100 в квадрате?

Алгебра 8 класс Сумма квадратов алгебра 8 класс значение выражения квадрат чисел математические операции сумма квадратов алгебраические выражения Новый

Чтобы найти значение выражения 1 в квадрате минус 2 в квадрате плюс 3 в квадрате минус 4 в квадрате плюс ... плюс 99 в квадрате минус 100 в квадрате, давайте сначала запишем это выражение более компактно:

Сумма:

(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + (5^2 - 6^2) + ... + (99^2 - 100^2)

Мы можем заметить, что каждая пара (n^2 - (n+1)^2) может быть упрощена. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов:

Формула разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

В нашем случае a = n и b = n + 1, тогда:

n^2 - (n + 1)^2 = n^2 - (n^2 + 2n + 1) = -2n - 1

Теперь подставим это в наше выражение:

Сумма:

= (-2*1 - 1) + (-2*3 - 1) + (-2*5 - 1) + ... + (-2*99 - 1)

Мы можем вынести -1 за скобки:

= -1 * (2*1 + 2*3 + 2*5 + ... + 2*99 + 50)

Теперь давайте посчитаем сумму 1 + 3 + 5 + ... + 99. Это сумма первых 50 нечетных чисел, которая равна:

Сумма первых n нечетных чисел:

n^2

Где n = 50, следовательно:

50^2 = 2500

Теперь подставим это значение обратно в наше выражение:

= -1 * (2 * 2500 + 50)

= -1 * (5000 + 50)

= -1 * 5050

= -5050

Ответ: Значение выражения равно -5050.