Как найти решение задачи: один катет прямоугольного треугольника меньше второго катета на 3 см, а гипотенуза на 6 см? Как вычислить периметр этого треугольника? (Если можно, добавьте рисунок треугольника)

Алгебра 8 класс Прямоугольные треугольники и теорема Пифагора алгебра 8 класс решение задачи прямоугольный треугольник катеты гипотенуза периметр треугольника геометрия математические задачи вычисление периметра свойства треугольника Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и формулы, связанные с его сторонами. Давайте обозначим катеты и гипотенузу треугольника:

• Обозначим первый катет как a.
• Второй катет обозначим как b.
• Гипотенузу обозначим как c.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие зависимости:

• Первый катет меньше второго на 3 см: a = b - 3.
• Гипотенуза на 6 см больше второго катета: c = b + 6.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c².

Подставим выражения для a и c в уравнение:

1. Сначала подставим a = b - 3 и c = b + 6 в уравнение Пифагора:
2. (b - 3)² + b² = (b + 6)².

Теперь раскроем скобки:

• (b - 3)² = b² - 6b + 9
• (b + 6)² = b² + 12b + 36

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

b² - 6b + 9 + b² = b² + 12b + 36

Сложим подобные члены:

2b² - 6b + 9 = b² + 12b + 36

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

2b² - b² - 6b - 12b + 9 - 36 = 0

Это упрощается до:

b² - 18b - 27 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = -18, c = -27.

Вычислим дискриминант:

D = (-18)² - 4 1 (-27) = 324 + 108 = 432

Теперь найдем корни уравнения:

b = (18 ± √432) / 2

Вычислим √432:

√432 = √(144 * 3) = 12√3

Подставим это значение:

b = (18 ± 12√3) / 2

Теперь получаем два значения для b:

b1 = 9 + 6√3, b2 = 9 - 6√3

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, мы выбираем b = 9 + 6√3.

Теперь можем найти a и c:

• a = b - 3 = (9 + 6√3) - 3 = 6 + 6√3
• c = b + 6 = (9 + 6√3) + 6 = 15 + 6√3

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, складываем все стороны:

P = a + b + c = (6 + 6√3) + (9 + 6√3) + (15 + 6√3)

Сложим все эти значения:

P = 30 + 18√3

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен 30 + 18√3 см.

К сожалению, я не могу предоставить рисунок треугольника, но вы можете нарисовать прямоугольный треугольник, где один катет будет меньше другого на 3 см, а гипотенуза будет на 6 см больше второго катета.