Чтобы определить длины катетов прямоугольного треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и некоторыми алгебраическими преобразованиями. Давайте рассмотрим шаги решения этой задачи.

1. Обозначим катеты: Пусть один катет равен x, а другой катет, который на 7 см больше, будет равен x + 7.
2. Запишем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае это будет выглядеть так:
• x² + (x + 7)² = 13²
3. Подставим значения: Заменим 13² на 169:
• x² + (x + 7)² = 169
• x² + (x² + 14x + 49) = 169
• 2x² + 14x + 49 = 169
• 2x² + 14x + 49 - 169 = 0
• 2x² + 14x - 120 = 0
• x² + 7x - 60 = 0
4. Решим квадратное уравнение: Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• где a = 1, b = 7, c = -60.
• Подставляем значения:
• x = (-7 ± √(7² - 4 * 1 * (-60))) / (2 * 1)
• x = (-7 ± √(49 + 240)) / 2
• x = (-7 ± √289) / 2
• x = (-7 ± 17) / 2
5. Находим корни: Теперь найдем два возможных значения:
• x = (10) / 2 = 5 (положительное значение)
• x = (-24) / 2 = -12 (отрицательное значение, не подходит)
6. Определим длины катетов: Теперь, когда мы нашли x, можем найти длины катетов:
• Первый катет: x = 5 см
• Второй катет: x + 7 = 5 + 7 = 12 см

Ответ: Длины катетов прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.