Для решения задачи о нахождении сторон и высот прямоугольного треугольника, когда известны его площадь, периметр и некоторые условия о сторонах, мы будем следовать следующим шагам:

Пусть стороны прямоугольного треугольника обозначим как:

• a - одна из катетов
• b - другой катет
• c - гипотенуза

Из условия задачи нам известно:

• Площадь S = 84 см²
• Периметр P = 42 см
• Одна из сторон больше остальных на 2 см и на 1 см

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

S = (1/2) * a * b = 84

Отсюда получаем:

a * b = 168

Периметр треугольника равен:

P = a + b + c = 42

Допустим, что:

• Сторона a = x
• Сторона b = x + 2
• Сторона c = x + 1

Теперь, подставим значения в уравнения:

1) a * b = 168:

x * (x + 2) = 168

2) a + b + c = 42:

x + (x + 2) + (x + 1) = 42

Решим первое уравнение:

x^2 + 2x - 168 = 0

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-168) = 4 + 672 = 676

Корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± 26) / 2

Получаем два значения:

x1 = 12, x2 = -14 (отрицательное значение отбрасываем)

Теперь подставим x = 12:

• a = 12 см
• b = 14 см (12 + 2)
• c = 13 см (12 + 1)

Проверим, соответствует ли периметр 42 см:

12 + 14 + 13 = 39 см (не соответствует)

Возможно, допущена ошибка в определении сторон. Попробуем другой вариант, если a = x, b = x + 1, c = x + 2:

1) x * (x + 1) = 168

2) x + (x + 1) + (x + 2) = 42

Решаем второе уравнение:

3x + 3 = 42

3x = 39

x = 13

Теперь подставим x = 13:

• a = 13 см
• b = 14 см (13 + 1)
• c = 15 см (13 + 2)

Проверим площадь:

(1/2) * 13 * 14 = 91 см² (не соответствует)

Таким образом, мы видим, что уравнения не дают удовлетворительных значений. Возможно, стоит повторно проверить условия задачи или рассмотреть другие варианты.

Итак, для нахождения сторон и высот прямоугольного треугольника, вам необходимо точно определить, какие стороны вы хотите использовать и как они соотносятся друг с другом. Если у вас есть дополнительные условия или уточнения, пожалуйста, предоставьте их для более точного решения.