Как определить область определения функции √(x^2 + 16x + 64) / (x^2 - 49)?

Алгебра 8 класс Область определения функции область определения функции алгебра 8 класс квадратный корень дробная функция математический анализ Новый

Чтобы определить область определения функции f(x) = √(x² + 16x + 64) / (x² - 49), нужно учесть два условия:

1. Условие для числителя: Корень квадратный может быть определён только для неотрицательных значений. То есть, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:
• x² + 16x + 64 ≥ 0
2. Условие для знаменателя: Знаменатель не должен равняться нулю, так как деление на ноль невозможно:
• x² - 49 ≠ 0

Теперь давайте разберем каждое из условий.

1. Решение неравенства x² + 16x + 64 ≥ 0:

Сначала упростим выражение. Мы можем заметить, что это полное квадратное уравнение:

x² + 16x + 64 = (x + 8)². Таким образом, неравенство можно переписать как:

(x + 8)² ≥ 0.

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, следовательно, это неравенство выполняется для всех x. Значит, первое условие выполняется для всех значений x.

2. Решение неравенства x² - 49 ≠ 0:

Это уравнение можно разложить на множители:

x² - 49 = (x - 7)(x + 7) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня:

• x = 7
• x = -7

Значит, знаменатель равен нулю при x = 7 и x = -7. Следовательно, эти значения должны быть исключены из области определения.

Итак, область определения функции:

Область определения функции f(x) будет включать все действительные числа, кроме x = 7 и x = -7. Мы можем записать это в виде интервалов:

(-∞, -7) ∪ (-7, 7) ∪ (7, +∞).

Таким образом, область определения функции f(x) = √(x² + 16x + 64) / (x² - 49) - это все действительные числа, кроме -7 и 7.