Как решить неравенство x² + x - 2 / (x - 3)²(x + 4) < 0? Помогите, пожалуйста...

Алгебра 8 класс Неравенства с дробями решение неравенства алгебра 8 класс неравенства x² + x - 2 (x - 3)² (x + 4) математические задачи помощь по алгебре Новый

Чтобы решить неравенство x² + x - 2 / (x - 3)²(x + 4) < 0, нужно следовать определенным шагам. Давайте разберем их по порядку.

1. Приведем неравенство к общему виду:

   Неравенство можно переписать как:

   (x² + x - 2) / ((x - 3)²(x + 4)) < 0

2. Найдем нули числителя:

   Для этого решим уравнение:

   x² + x - 2 = 0

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

   • Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
   • Корни уравнения:
   • x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 3) / 2 = 1.
   • x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 3) / 2 = -2.

   Таким образом, нули числителя: x = 1 и x = -2.

3. Найдем нули знаменателя:

   Знаменатель равен нулю, когда:

   (x - 3)²(x + 4) = 0

   • x - 3 = 0 → x = 3;
   • x + 4 = 0 → x = -4.

   Таким образом, нули знаменателя: x = 3 и x = -4.

4. Определим знаки дроби:

   Теперь у нас есть критические точки: x = -4, -2, 1, 3. Разобьем числовую прямую на интервалы:

   • (-∞, -4)
   • (-4, -2)
   • (-2, 1)
   • (1, 3)
   • (3, +∞)

   Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в дробь:

   • Для x = -5: (25 - 5 - 2) / ((-8)²(-1)) = положительное;
   • Для x = -3: (9 - 3 - 2) / ((-6)²(1)) = положительное;
   • Для x = 0: (0 + 0 - 2) / ((-3)²(4)) = отрицательное;
   • Для x = 2: (4 + 2 - 2) / ((-1)²(6)) = положительное;
   • Для x = 4: (16 + 4 - 2) / ((1)²(8)) = положительное;
5. Запишем знаковые интервалы:

   Теперь у нас есть знаки на интервалах:

   • (-∞, -4) - положительное;
   • (-4, -2) - положительное;
   • (-2, 1) - отрицательное;
   • (1, 3) - положительное;
   • (3, +∞) - положительное;
6. Запишем решение:

   Неравенство (x² + x - 2) / ((x - 3)²(x + 4)) < 0 выполняется на интервале:

   (-2, 1)

Таким образом, окончательный ответ: x ∈ (-2, 1).