Решите следующие неравенства:

1. 5x + 1 / (x - 2) < 0
2. 3x - 1 / (8 + x) >= 2

Алгебра 8 класс Неравенства с дробями алгебра 8 класс неравенства решение неравенств математические задачи алгебраические выражения Новый

Давайте решим оба неравенства по порядку, начиная с первого.

1. Решение неравенства: (5x + 1) / (x - 2) < 0

Чтобы решить это неравенство, нам нужно определить, при каких значениях x дробь (5x + 1) / (x - 2) отрицательна. Для этого мы рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

• Числитель: 5x + 1 = 0
• Решим это уравнение:
1. 5x = -1
2. x = -1/5
• Знаменатель: x - 2 = 0
• Решим это уравнение:
1. x = 2

Теперь у нас есть два ключевых значения: x = -1/5 и x = 2. Эти значения разбивают числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -1/5)
• (-1/5, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак дроби на каждом из этих интервалов:

• Интервал (-∞, -1/5): Пусть x = -1. Тогда:
1. 5(-1) + 1 = -5 + 1 = -4 (отрицательный)
2. -1 - 2 = -3 (отрицательный)
3. Отрицательное / Отрицательное = Положительное
• Интервал (-1/5, 2): Пусть x = 0. Тогда:
1. 5(0) + 1 = 1 (положительный)
2. 0 - 2 = -2 (отрицательный)
3. Положительное / Отрицательное = Отрицательное
• Интервал (2, +∞): Пусть x = 3. Тогда:
1. 5(3) + 1 = 15 + 1 = 16 (положительный)
2. 3 - 2 = 1 (положительный)
3. Положительное / Положительное = Положительное

Таким образом, дробь (5x + 1) / (x - 2) отрицательна только на интервале (-1/5, 2). Не забываем, что в точке x = 2 дробь не определена, поэтому:

Ответ для первого неравенства: (-1/5, 2)

2. Решение неравенства: (3x - 1) / (8 + x) >= 2

Для решения этого неравенства, сначала преобразуем его так, чтобы одна сторона была равна нулю:

(3x - 1) / (8 + x) - 2 >= 0

Приведем к общему знаменателю:

(3x - 1 - 2(8 + x)) / (8 + x) >= 0

Упростим числитель:

3x - 1 - 16 - 2x = x - 17

Теперь у нас есть неравенство:

(x - 17) / (8 + x) >= 0

Рассмотрим числитель и знаменатель:

• Числитель: x - 17 = 0
• Решим это уравнение:
1. x = 17
• Знаменатель: 8 + x = 0
• Решим это уравнение:
1. x = -8

Теперь у нас есть два ключевых значения: x = -8 и x = 17. Эти значения разбивают числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -8)
• (-8, 17)
• (17, +∞)

Теперь проверим знак дроби на каждом из этих интервалов:

• Интервал (-∞, -8): Пусть x = -9. Тогда:
1. -9 - 17 = -26 (отрицательный)
2. 8 - 9 = -1 (отрицательный)
3. Отрицательное / Отрицательное = Положительное
• Интервал (-8, 17): Пусть x = 0. Тогда:
1. 0 - 17 = -17 (отрицательный)
2. 8 + 0 = 8 (положительный)
3. Отрицательное / Положительное = Отрицательное
• Интервал (17, +∞): Пусть x = 18. Тогда:
1. 18 - 17 = 1 (положительный)
2. 8 + 18 = 26 (положительный)
3. Положительное / Положительное = Положительное

Таким образом, дробь (x - 17) / (8 + x) положительна на интервале (-∞, -8) и (17, +∞). Также мы должны учитывать, что в точке x = 17 дробь равна нулю, а в точке x = -8 она не определена.

Ответ для второго неравенства: (-∞, -8) U [17, +∞)

В итоге, мы получили решения для обоих неравенств:

• Первое неравенство: (-1/5, 2)
• Второе неравенство: (-∞, -8) U [17, +∞)