Чтобы решить уравнение x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6, мы можем использовать метод подбора корней и разложение на множители. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Подбор возможных рациональных корней:
   • По теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения могут быть делителями свободного члена (-6) и ведущего коэффициента (1).
   • Делители -6: ±1, ±2, ±3, ±6.
   • Теперь мы проверим каждый из этих делителей, подставляя их в уравнение.
2. Проверка корней:
   • Проверим x = 1:
     x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0.
     Таким образом, x = 1 - это корень.
   • Проверим x = 2:
     x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 = 16 - 40 + 20 + 10 - 6 = 0.
     Таким образом, x = 2 - это корень.
   • Проверим x = -1:
     x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 = 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0.
     Таким образом, x = -1 - это корень.
   • Проверим x = -2:
     x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 = 16 + 40 + 20 - 10 - 6 = 60.
     Таким образом, x = -2 - не корень.
   • Проверим x = 3:
     x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 = 81 - 135 + 45 + 15 - 6 = 0.
     Таким образом, x = 3 - это корень.
3. Разложение на множители:
   • Мы нашли корни: x = 1, x = 2, x = -1 и x = 3. Теперь мы можем записать уравнение в виде множителей:
   • (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x - 3) = 0.
4. Находим оставшиеся корни:
   • Поскольку у нас уже есть 4 корня, то уравнение имеет 4 корня: x = 1, x = 2, x = -1 и x = 3.

Таким образом, корни уравнения x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6: x = 1, x = 2, x = -1, x = 3.